A equação de onda de um pulso que se desloca em uma direção com velocidade
(SI) sobre uma corda é
em que
é a amplitude da forma do
pulso na corda.
a) Obtenha
no SI.
Uma onda senoidal
satisfaz a equação de onda exibida anteriormente. Usando o Sistema Internacional de medidas determine:
b) A frequência de oscilação (
).
c) O número de onda (k).
d) Qual o valor e a unidade do produto entre
e
.
e) O comprimento de onda (
).
f) O período de oscilação (T).
g) A amplitude máxima da onda.
h) A velocidade de fase (v).
i) A direção de propagação.
pulso na corda.
a) Obtenha
b) A frequência de oscilação (
c) O número de onda (k).
d) Qual o valor e a unidade do produto entre
e) O comprimento de onda (
f) O período de oscilação (T).
g) A amplitude máxima da onda.
h) A velocidade de fase (v).
i) A direção de propagação.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (não resolvo nada aqui ainda).
-
Dados fornecidos:
- A equação parcial para
é
- Uma solução senoidal é
- A equação parcial para
-
O enunciado pede:
a) Obter(no SI) a partir da equação de onda.
b) A frequência angular.
c) O número de onda.
d) O valor e a unidade do produto.
e) O comprimento de onda.
f) O período de oscilação.
g) A amplitude máxima da onda.
h) A velocidade de fase(da onda senoidal).
i) A direção de propagação da onda.
Passo 2
Entender como extrair a velocidade
da equação dada.
- A forma padrão da equação de onda unidimensional (para ondas que se propagam sem dispersão) é
onde
é a velocidade de propagação (unidade:
). Aqui a equação do enunciado é
que pode ser reescrita como
- Comparando com a forma padrão, tem-se
Isso relaciona a constante na equação com
.
Passo 3
Resolver para
a partir da relação encontrada e interpretar o resultado.
- A partir de
segue
Tomando a raiz positiva (velocidade é magnitude positiva):
- Unidade: como usamos a equação de onda no SI,
está em metros por segundo, isto é .
Passo 4
Entender a forma geral de uma onda senoidal e como identificar
e
.
- Uma onda plana senoidal de forma viajante costuma ser escrita como
ou
onde:
-
é a amplitude (unidade da variável ); -
é o número de onda (unidade: — mas rad é adimensional, então ); -
é a frequência angular (unidade: — usualmente ); -
o sinal
indica propagação no sentido positivo de ; o sinal indica propagação no sentido negativo. -
A função dada é
que está já no formato
. Portanto
e
podem ser lidos diretamente do argumento do cosseno.
Passo 5
Identificar
e
a partir da expressão da onda e explicar o que esses números significam.
-
Do argumento
: -
. Unidade: (os radianos são adimensionais). -
. Unidade: .
-
-
Interpretação:
-
diz quantos radianos de fase existem por metro; para transformar em comprimento de onda usa-se . -
diz quantos radianos de fase existem por segundo; para transformar em período usa-se .
-
Passo 6
Calcular numericamente
e
(valores exatos e, se quiser, aproximados).
- Valores exatos:
- Aproximações numéricas (opcional para intuir ordem de grandeza):
Passo 7
Calcular o produto
e discutir a unidade desse produto.
- Produto:
- Aproximação numérica:
- Unidade: formalmente
. Como radiano é adimensional em unidades SI, a unidade prática é
Ou seja,
tem dimensão
.
Passo 8
Calcular o comprimento de onda
.
- Fórmula relacionando
e :
- Substituindo
:
- Unidade: metros. Então
.
Passo 9
Calcular o período
.
- Fórmula relacionando
e :
- Substituindo
:
- Unidade: segundos. Então
(ou ).
Passo 10
Determinar a amplitude máxima da onda.
- A função é
. O cosseno varia entre e , então a amplitude máxima (valor absoluto máximo) é o coeficiente multiplicador:
- Unidade: mesma unidade de
(a unidade de amplitude da corda).
Passo 11
Calcular a velocidade de fase (velocidade da onda senoidal) e verificar compatibilidade com o
obtido da equação de onda.
- A velocidade de fase
para uma onda senoidal é
- Substituindo
e :
- Unidade:
. Assim , que coincide com encontrado a partir da equação de onda no Passo 3 — bom sinal de consistência.
Passo 12
Determinar a direção de propagação com base no argumento da função de onda.
- A forma do argumento é
com e . A convenção é: -
representa uma onda viajando no sentido positivo de (para a direita). -
representaria uma onda viajando no sentido negativo de (para a esquerda).
-
- Como o argumento é
, a onda propaga-se no sentido positivo de (ou seja, para a direita).
Resposta
a)
b)
c)
d) com unidade
(formalmente
, mas rad é adimensional)
e)
f)
g)
h)
i) Direção de propagação: no sentido positivo de (para a direita)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i) Direção de propagação: no sentido positivo de