A equação de onda de um pulso que se desloca em uma direção com velocidade v (SI) sobre uma corda é
\frac{\partial^{2} Y}{\partial x^{2}}-\frac{1}{4} \frac{\partial^{2} Y}{\partial t^{2}}=0
em que Y é a amplitude da forma do
pulso na corda.
a) Obtenha v no SI.
Uma onda senoidal
\varphi(x, t)=\frac{2}{5} \cos (2 \pi x-4 \pi t)
satisfaz a equação de onda exibida anteriormente. Usando o Sistema Internacional de medidas determine:
b) A frequência de oscilação ( \omega ).
c) O número de onda (k).
d) Qual o valor e a unidade do produto entre \omega e k.
e) O comprimento de onda ( \lambda ).
f) O período de oscilação (T).
g) A amplitude máxima da onda.
h) A velocidade de fase (v).
i) A direção de propagação.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (não resolvo nada aqui ainda).
  • Dados fornecidos:
    • A equação parcial para Y(x,t) é
    \frac{\partial^{2} Y}{\partial x^{2}}-\frac{1}{4} \frac{\partial^{2} Y}{\partial t^{2}}=0.
    • Uma solução senoidal é
    \varphi(x,t)=\frac{2}{5}\cos(2\pi x-4\pi t).
  • O enunciado pede:
    a) Obter v (no SI) a partir da equação de onda.
    b) A frequência angular \omega.
    c) O número de onda k.
    d) O valor e a unidade do produto \omega k.
    e) O comprimento de onda \lambda.
    f) O período de oscilação T.
    g) A amplitude máxima da onda.
    h) A velocidade de fase v (da onda senoidal).
    i) A direção de propagação da onda.

Passo 2

Entender como extrair a velocidade v da equação dada.
  • A forma padrão da equação de onda unidimensional (para ondas que se propagam sem dispersão) é
\frac{\partial^{2}Y}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}Y}{\partial t^{2}},
onde v é a velocidade de propagação (unidade: \mathrm{m/s}). Aqui a equação do enunciado é
\frac{\partial^{2}Y}{\partial x^{2}}-\frac{1}{4}\frac{\partial^{2}Y}{\partial t^{2}}=0,
que pode ser reescrita como
\frac{\partial^{2}Y}{\partial x^{2}}=\frac{1}{4}\frac{\partial^{2}Y}{\partial t^{2}}.
  • Comparando com a forma padrão, tem-se
\frac{1}{v^{2}}=\frac{1}{4}.
Isso relaciona a constante na equação com v^2.

Passo 3

Resolver para v a partir da relação encontrada e interpretar o resultado.
  • A partir de
\frac{1}{v^{2}}=\frac{1}{4}
segue
v^{2}=4.
Tomando a raiz positiva (velocidade é magnitude positiva):
v=2.
  • Unidade: como usamos a equação de onda no SI, v está em metros por segundo, isto é \mathrm{m/s}.

Passo 4

Entender a forma geral de uma onda senoidal e como identificar k e \omega.
  • Uma onda plana senoidal de forma viajante costuma ser escrita como
A\cos(kx-\omega t)
ou
A\cos(kx+\omega t),
onde:
  • A é a amplitude (unidade da variável Y);
  • k é o número de onda (unidade: \mathrm{rad\,m^{-1}} — mas rad é adimensional, então \mathrm{m^{-1}});
  • \omega é a frequência angular (unidade: \mathrm{rad\,s^{-1}} — usualmente \mathrm{s^{-1}});
  • o sinal kx-\omega t indica propagação no sentido positivo de x; o sinal kx+\omega t indica propagação no sentido negativo.
  • A função dada é
\varphi(x,t)=\frac{2}{5}\cos(2\pi x-4\pi t),
que está já no formato A\cos(kx-\omega t). Portanto k e \omega podem ser lidos diretamente do argumento do cosseno.

Passo 5

Identificar \omega e k a partir da expressão da onda e explicar o que esses números significam.
  • Do argumento 2\pi x-4\pi t:
    • k=2\pi. Unidade: \mathrm{m^{-1}} (os radianos são adimensionais).
    • \omega=4\pi. Unidade: \mathrm{s^{-1}}.
  • Interpretação:
    • k diz quantos radianos de fase existem por metro; para transformar em comprimento de onda usa-se \lambda=\dfrac{2\pi}{k}.
    • \omega diz quantos radianos de fase existem por segundo; para transformar em período usa-se T=\dfrac{2\pi}{\omega}.

Passo 6

Calcular numericamente \omega e k (valores exatos e, se quiser, aproximados).
  • Valores exatos:
\omega=4\pi,\qquad k=2\pi.
  • Aproximações numéricas (opcional para intuir ordem de grandeza):
\omega\approx 4\cdot 3,1416=12,5664\\ \mathrm{s^{-1}}, \qquad k\approx 2\cdot 3,1416=6,2832\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 7

Calcular o produto \omega k e discutir a unidade desse produto.
  • Produto:
\omega k=(4\pi)(2\pi)=8\pi^{2}.
  • Aproximação numérica:
8\pi^{2}\approx 8\cdot 9,8696\approx 78,9568.
  • Unidade: formalmente (\mathrm{rad/s})\times(\mathrm{rad/m})=\mathrm{rad^{2}\,m^{-1}\,s^{-1}}. Como radiano é adimensional em unidades SI, a unidade prática é
\mathrm{m^{-1}s^{-1}}.
Ou seja, \omega k tem dimensão \text{(comprimento)}^{-1}\text{(tempo)}^{-1}.

Passo 8

Calcular o comprimento de onda \lambda.
  • Fórmula relacionando k e \lambda:
k=\frac{2\pi}{\lambda}\quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{2\pi}{k}.
  • Substituindo k=2\pi:
\lambda=\frac{2\pi}{2\pi}=1.
  • Unidade: metros. Então \lambda=1\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Calcular o período T.
  • Fórmula relacionando \omega e T:
\omega=\frac{2\pi}{T}\quad\Rightarrow\quad T=\frac{2\pi}{\omega}.
  • Substituindo \omega=4\pi:
T=\frac{2\pi}{4\pi}=\frac{1}{2}.
  • Unidade: segundos. Então T=0,5\\ \mathrm{s} (ou T=\dfrac{1}{2}\\ \mathrm{s}).

Passo 10

Determinar a amplitude máxima da onda.
  • A função é \varphi(x,t)=\dfrac{2}{5}\cos(\cdots). O cosseno varia entre -1 e +1, então a amplitude máxima (valor absoluto máximo) é o coeficiente multiplicador:
A_{\max}=\frac{2}{5}.
  • Unidade: mesma unidade de Y (a unidade de amplitude da corda).

Passo 11

Calcular a velocidade de fase (velocidade da onda senoidal) e verificar compatibilidade com o v obtido da equação de onda.
  • A velocidade de fase v_{\mathrm{f}} para uma onda senoidal é
v_{\mathrm{f}}=\frac{\omega}{k}.
  • Substituindo \omega=4\pi e k=2\pi:
v_{\mathrm{f}}=\frac{4\pi}{2\pi}=2.
  • Unidade: \mathrm{m/s}. Assim v_{\mathrm{f}}=2\\ \mathrm{m/s}, que coincide com v encontrado a partir da equação de onda no Passo 3 — bom sinal de consistência.

Passo 12

Determinar a direção de propagação com base no argumento da função de onda.
  • A forma do argumento é kx-\omega t com k>0 e \omega>0. A convenção é:
    • kx-\omega t representa uma onda viajando no sentido positivo de x (para a direita).
    • kx+\omega t representaria uma onda viajando no sentido negativo de x (para a esquerda).
  • Como o argumento é 2\pi x-4\pi t, a onda propaga-se no sentido positivo de x (ou seja, para a direita).

Resposta

a) v=2\\ \mathrm{m/s}
b) \omega=4\pi\\ \mathrm{s^{-1}}
c) k=2\pi\\ \mathrm{m^{-1}}
d) \omega k=8\pi^{2}\\ (\approx78{,}9568) com unidade \mathrm{m^{-1}s^{-1}} (formalmente \mathrm{rad^{2}m^{-1}s^{-1}}, mas rad é adimensional)
e) \lambda=1\\ \mathrm{m}
f) T=\tfrac{1}{2}\\ \mathrm{s}=0,5\\ \mathrm{s}
g) A_{\max}=\dfrac{2}{5}
h) v_{\mathrm{f}}=\dfrac{\omega}{k}=2\\ \mathrm{m/s}
i) Direção de propagação: no sentido positivo de x (para a direita)

Exercícios relacionados