Um corpo de massa 2 Kg é suspenso por uma mola de constante 10 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e colocado num meio viscoso com amortecimento de 4 \mathrm{Ns} / \mathrm{m}. Se no instante t=0 ele está na posição de equilíbrio com velocidade 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} para baixo determine a equação de seu movimento.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola amortecido, com massa m=2 kg, constante elástica k=10 N/m e coeficiente de amortecimento viscoso c=4 Ns/m. Vamos modelar o movimento pela EDO linear homogênea de segunda ordem
m\,y''(t)+c\,y'(t)+k\,y(t)=0,
com condições iniciais y(0)=0 (posição de equilíbrio) e y'(0)=3 m/s (para baixo, tomamos direção positiva).

Passo 2

Escrevendo a EDO com os valores dados e normalizando por m=2, temos
2\,y''+4\,y'+10\,y=0 \quad\Longrightarrow\quad y''+2\,y'+5\,y=0.

Passo 3

A equação característica associada é
r^{2}+2r+5=0.
Resolvendo,
r = \frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot1\cdot5}}{2} =\frac{-2\pm\sqrt{-16}}{2} =-1\pm2\,\mathrm{i}.

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas -1\pm2\mathrm{i}, a solução geral é
y(t)=e^{-t}\bigl(A\cos(2t)+B\sin(2t)\bigr).

Passo 5

Aplicando y(0)=0
y(0)=A=0.
Logo
y(t)=B\,e^{-t}\sin(2t).

Passo 6

Calculamos y'(t) para usar y'(0)=3:
y'(t) =B\,\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t}\sin(2t)\bigr) =B\,e^{-t}\bigl(2\cos(2t)-\sin(2t)\bigr).
Em t=0 isso vale y'(0)=B\cdot2=3, logo
B=\tfrac{3}{2}.

Resposta

y(t)=\tfrac{3}{2}\,e^{-t}\sin(2t).

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