Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Isso é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos achar (1) a solução complementar
resolvendo a parte homogênea e (2) uma solução particular
por coeficientes a determinar.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
Escrevemos a equação característica
e obtemos as raízes
Logo a solução complementar é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para a solução particular observamos que o termo de forçamento é
, que não coincide com as raízes da característica. Fazemos o palpite
onde
é constante a determinar. Calculamos
e substituímos na equação original:
Isso deve igualar
, logo
Portanto
Passo 4
A solução geral da equação diferencial é a soma da complementar com a particular: