Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=e^{3 t}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' + 3y' + 2y = e^{3t}.
Isso é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos achar (1) a solução complementar y_h resolvendo a parte homogênea e (2) uma solução particular y_p por coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' + 3y' + 2y = 0.
Escrevemos a equação característica
r^2 + 3r + 2 = 0
e obtemos as raízes
r = -1,\quad r = -2.
Logo a solução complementar é
y_h(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a solução particular observamos que o termo de forçamento é e^{3t}, que não coincide com as raízes da característica. Fazemos o palpite
y_p(t) = A e^{3t},
onde A é constante a determinar. Calculamos
y_p' = 3A e^{3t}, \quad y_p'' = 9A e^{3t},
e substituímos na equação original:
9A e^{3t} + 3\,(3A e^{3t}) + 2\,(A e^{3t}) = (9A + 9A + 2A)e^{3t} = 20A e^{3t}.
Isso deve igualar e^{3t}, logo
20A e^{3t} = e^{3t} \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{1}{20}.
Portanto
y_p(t) = \frac{1}{20}e^{3t}.

Passo 4

A solução geral da equação diferencial é a soma da complementar com a particular:
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} + \frac{1}{20}e^{3t}.

Resposta

y(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} + \frac{1}{20}e^{3t}.

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