Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=e^{2 t}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' - 3y = e^{2t}.
O conteúdo envolvido é: (1) encontrar a solução homogênea via equação característica; (2) aplicar o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular; (3) somar ambas para obter a solução geral.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
y_h'' + 2y_h' - 3y_h = 0
e escrevemos a equação característica
r^2 + 2r - 3 = 0.
Resolvendo,
r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2},
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r_1 = 1,\quad r_2 = -3.
Portanto a solução homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{-3t}.

Passo 3

Para a solução particular, vemos que o termo não homogêneo é e^{2t}, cujo “expoente” 2 não coincide com as raízes da característica. Assim, escolhemos o ansatz
y_p(t) = A\,e^{2t}.
Derivando,
y_p' = 2A e^{2t}, \quad y_p'' = 4A e^{2t}.
Substituindo na EDO original:
4A e^{2t} + 2\cdot(2A e^{2t}) - 3\cdot(A e^{2t}) = e^{2t},
ou seja
(4A + 4A - 3A)\,e^{2t} = e^{2t} \quad\Longrightarrow\quad 5A = 1 \;\Longrightarrow\; A = \tfrac{1}{5}.
Então
y_p(t) = \tfrac{1}{5}e^{2t}.

Passo 4

A solução geral da equação é a soma da parte homogênea com a particular:
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{-3t} + \tfrac{1}{5}e^{2t}.

Resposta

y(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{-3t} + \frac{1}{5}e^{2t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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