Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo envolvido é: (1) encontrar a solução homogênea via equação característica; (2) aplicar o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular; (3) somar ambas para obter a solução geral.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
e escrevemos a equação característica
Resolvendo,
logo
Portanto a solução homogênea é
Passo 3
Para a solução particular, vemos que o termo não homogêneo é
, cujo “expoente” 2 não coincide com as raízes da característica. Assim, escolhemos o ansatz
Derivando,
Substituindo na EDO original:
ou seja
Então
Passo 4
A solução geral da equação é a soma da parte homogênea com a particular:
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.