Encontre a solução do problema de valor inicial.
\left\{\begin{array}{r}9 y^{\prime \prime}-12 y^{\prime}+4 y=0 \\\ y(0)=2 \\\ y^{\prime}(0)=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
9\,y'' - 12\,y' + 4\,y = 0,
sujeita a
y(0) = 2, \quad y'(0) = -1.
O conteúdo aqui é solução da equação homogênea por equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica substituindo y\sim e^{r x}:
9\,r^2 - 12\,r + 4 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-12)^2 - 4\cdot9\cdot4 = 144 - 144 = 0,
logo há raiz dupla
r = \frac{12}{2\cdot9} = \frac{2}{3}.
Assim a solução geral é
y(x) = \bigl(C_1 + C_2\,x\bigr)\,e^{\tfrac{2}{3}x}.

Passo 3

Calculamos a derivada y'(x):
y'(x) = C_2\,e^{\tfrac{2}{3}x} + \bigl(C_1 + C_2\,x\bigr)\,\frac{2}{3}\,e^{\tfrac{2}{3}x}.

Passo 4

Impondo as condições iniciais em x=0:
de y(0)=2 vem
C_1 = 2.
De y'(0)=-1 temos
y'(0) = C_2 + C_1\cdot\frac{2}{3} = C_2 + \frac{4}{3} = -1 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = -1 - \frac{4}{3} = -\frac{7}{3}.

Resposta

y(x) = \Bigl(2 - \tfrac{7}{3}\,x\Bigr)\,e^{\tfrac{2}{3}x}.

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