Encontre a solução do problema de valor inicial.
\left\{\begin{aligned} y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y & =0 \\\ y(-1) & =2 \\\ y^{\prime}(-1) & =1\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
\begin{cases} y'' + 4y' + 4y = 0,\\\ y(-1)=2,\\\ y'(-1)=1, \end{cases}
que é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos: (i) achar as raízes da equação característica, (ii) escrever a solução geral, (iii) derivar, (iv) aplicar as condições iniciais e (v) determinar as constantes.

Passo 2

A equação característica é
r^2 + 4r + 4 = 0 \implies (r+2)^2 = 0,
logo temos raiz dupla r=-2. Pela teoria de EDOs, a solução geral é
y(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr) e^{-2t}.

Passo 3

Derivando y(t) em função de t, usando produto e regra da cadeia, obtemos
y'(t) = \bigl(C_2 - 2(C_1 + C_2\,t)\bigr)e^{-2t} = \bigl(C_2 -2C_1 -2C_2\,t\bigr)e^{-2t}.

Passo 4

Agora impomos as condições iniciais em t=-1:
y(-1) = (C_1 - C_2)e^{2} = 2,
y'(-1) = \bigl(3C_2 -2C_1\bigr)e^{2} = 1.

Passo 5

Isso gera o sistema linear para C_1\) e \(C_2\): \[\begin{cases} C_1 - C_2 = 2e^{-2},\\\\ -2C_1 +3C_2 = e^{-2}. \end{cases}
Multiplicando a primeira por 2 e somando à segunda, achamos C_2 = 5e^{-2}\]. Em seguida, \(C_1 = C_2 + 2e^{-2} = 7e^{-2}.

Passo 6

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral,
y(t) = \bigl(7e^{-2} + 5e^{-2}t\bigr)e^{-2t} = (7 + 5t)\,e^{-2(t+1)}.

Resposta

y(t) = (7 + 5t)\,e^{-2(t+1)}.

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