Encontre a solução do problema de valor inicial. \left\{\begin{aligned} y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y & =0 \\\ y(-1) & =2 \\\ y^{\prime}(-1) & =1\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
que é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos: (i) achar as raízes da equação característica, (ii) escrever a solução geral, (iii) derivar, (iv) aplicar as condições iniciais e (v) determinar as constantes.
Passo 2
A equação característica é
r^2 + 4r + 4 = 0 \implies (r+2)^2 = 0,
logo temos raiz dupla r=-2. Pela teoria de EDOs, a solução geral é
y(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr) e^{-2t}.
Passo 3
Derivando y(t) em função de t, usando produto e regra da cadeia, obtemos