Um corpo de massa
é lançado verticalmente para baixo com velocidade inicial
. A resistência do ar é proporcional ao quadrado da velocidade:
, onde
. A força resultante que atua no corpo é dada por:
Sabendo que
, queremos determinar a velocidade terminal
, isto é, a velocidade em que
.A equação que deve ser resolvida para encontrar a velocidade terminal é:
Usando o método de Newton, determine uma aproximação para a raiz da função
, com precisão de 3 casas decimais (arredondamento). Use como aproximação inicial
.
Dica: Lembre-se que o Método de Newton é dado por:
onde
.
Construa uma tabela para melhor organizar os dados.
Dica: Lembre-se que o Método de Newton é dado por:
Construa uma tabela para melhor organizar os dados.
Passo 1
Então, galera, vamos dar uma olhada no que esse exercício pede. Temos um corpo com massa
que é lançado para baixo com uma velocidade inicial de
. A resistência do ar que atua sobre o corpo é proporcional ao quadrado da velocidade, dada por
onde
.
A força resultante no corpo é:
E sabemos que essa força também é igual a
. Queremos encontrar a velocidade terminal
, que é a velocidade em que a aceleração (
) é zero.
Para isso, vamos resolver a equação:
Usaremos o Método de Newton para encontrar uma aproximação da raiz dessa função, ou seja, a velocidade terminal, com uma precisão de 3 casas decimais, começando com uma aproximação inicial de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Método de Newton. Ele é uma técnica iterativa para encontrar as raízes de uma função, ou seja, os valores de
que satisfazem
.
A fórmula do Método de Newton é:
onde:
-
é a aproximação atual, -
é o valor da função na aproximação atual, -
é a derivada da função na aproximação atual.
No nosso caso, a função é
, então a derivada é:
Passo 3
Vamos organizar nossos cálculos em uma tabela para ficar mais fácil de acompanhar cada iteração até chegarmos na precisão desejada.
Dados iniciais:
- Massa
- Constante
- Aceleração da gravidade
- Aproximação inicial
Passo 4
Primeira iteração:
Calculamos
:
Calculamos
:
Aplicamos a fórmula de Newton:
Passo 5
Segunda iteração:
Calculamos
:
Calculamos
:
Aplicamos a fórmula de Newton:
Passo 6
Terceira iteração:
Calculamos
:
Calculamos
:
Aplicamos a fórmula de Newton:
Passo 7
Quarta iteração:
Calculamos
:
Calculamos
:
Aplicamos a fórmula de Newton:
Passo 8
Quinta iteração:
Calculamos
:
Calculamos
:
Aplicamos a fórmula de Newton:
Passo 9
Sexta iteração:
Calculamos
:
Como a variação entre
e
já está menor que 0,001 (precisão de 3 casas decimais), podemos parar as iterações.
Resposta
A velocidade terminal aproximada é
.