Um corpo de massa m=2 kg é lançado verticalmente para baixo com velocidade inicial v0=5 m / s. A resistência do ar é proporcional ao quadrado da velocidade: Fr=k v^2, onde k=0,5 kg / m. A força resultante que atua no corpo é dada por:
F=m g-k v^2
Sabendo que F=m d vd t, queremos determinar a velocidade terminal vt, isto é, a velocidade em que d vd t=0.A equação que deve ser resolvida para encontrar a velocidade terminal é:
f(v)=m g-k v^2=0
Usando o método de Newton, determine uma aproximação para a raiz da função f(v)=m g-k v^2, com precisão de 3 casas decimais (arredondamento). Use como aproximação inicial v0=2 m / s.
Dica: Lembre-se que o Método de Newton é dado por:
vn+1=vn-f(vn)f^prime(vn)
onde f^prime(vn)=-2 k v.
Construa uma tabela para melhor organizar os dados.

Passo 1

Então, galera, vamos dar uma olhada no que esse exercício pede. Temos um corpo com massa m = 2, kg que é lançado para baixo com uma velocidade inicial de v0 = 5, m/s . A resistência do ar que atua sobre o corpo é proporcional ao quadrado da velocidade, dada por Fr = k v^2 onde k = 0,5, kg/m .
A força resultante no corpo é:
F = m g - k v^2
E sabemos que essa força também é igual a m dvdt . Queremos encontrar a velocidade terminal vt , que é a velocidade em que a aceleração ( dvdt ) é zero.
Para isso, vamos resolver a equação:
f(v) = m g - k v^2 = 0
Usaremos o Método de Newton para encontrar uma aproximação da raiz dessa função, ou seja, a velocidade terminal, com uma precisão de 3 casas decimais, começando com uma aproximação inicial de v0 = 2, m/s .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Método de Newton. Ele é uma técnica iterativa para encontrar as raízes de uma função, ou seja, os valores de v que satisfazem f(v) = 0 .
A fórmula do Método de Newton é:
vn+1 = vn - f(vn)f'(vn)
onde:
  • vn é a aproximação atual,
  • f(vn) é o valor da função na aproximação atual,
  • f'(vn) é a derivada da função na aproximação atual.
No nosso caso, a função é f(v) = m g - k v^2 , então a derivada é:
f'(v) = -2 k v

Passo 3

Vamos organizar nossos cálculos em uma tabela para ficar mais fácil de acompanhar cada iteração até chegarmos na precisão desejada.
Dados iniciais:
  • Massa m = 2, kg
  • Constante k = 0,5, kg/m
  • Aceleração da gravidade g = 9,81, m/s^2
  • Aproximação inicial v0 = 2, m/s

Passo 4

Primeira iteração:
Calculamos f(v0) :
f(v0) = m g - k v0^2 = 2 times 9,81 - 0,5 times (2)^2 = 19,62 - 2 = 17,62
Calculamos f'(v0) :
f'(v0) = -2 times 0,5 times 2 = -2
Aplicamos a fórmula de Newton:
v1 = v0 - f(v0)f'(v0) = 2 - 17,62-2 = 2 + 8,81 = 10,81, m/s

Passo 5

Segunda iteração:
Calculamos f(v1) :
f(v1) = 2 times 9,81 - 0,5 times (10,81)^2 = 19,62 - 0,5 times 116,76 = 19,62 - 58,38 = -38,76
Calculamos f'(v1) :
f'(v1) = -2 times 0,5 times 10,81 = -10,81
Aplicamos a fórmula de Newton:
v2 = v1 - f(v1)f'(v1) = 10,81 - -38,76-10,81 = 10,81 - 3,58 = 7,23, m/s

Passo 6

Terceira iteração:
Calculamos f(v2) :
f(v2) = 2 times 9,81 - 0,5 times (7,23)^2 = 19,62 - 0,5 times 52,28 = 19,62 - 26,14 = -6,52
Calculamos f'(v2) :
f'(v2) = -2 times 0,5 times 7,23 = -7,23
Aplicamos a fórmula de Newton:
v3 = v2 - f(v2)f'(v2) = 7,23 - -6,52-7,23 = 7,23 - 0,90 = 6,33, m/s

Passo 7

Quarta iteração:
Calculamos f(v3) :
f(v3) = 2 times 9,81 - 0,5 times (6,33)^2 = 19,62 - 0,5 times 40,07 = 19,62 - 20,04 = -0,42
Calculamos f'(v3) :
f'(v3) = -2 times 0,5 times 6,33 = -6,33
Aplicamos a fórmula de Newton:
v4 = v3 - f(v3)f'(v3) = 6,33 - -0,42-6,33 = 6,33 - 0,07 = 6,26, m/s

Passo 8

Quinta iteração:
Calculamos f(v4) :
f(v4) = 2 times 9,81 - 0,5 times (6,26)^2 = 19,62 - 0,5 times 39,19 = 19,62 - 19,59 = 0,03
Calculamos f'(v4) :
f'(v4) = -2 times 0,5 times 6,26 = -6,26
Aplicamos a fórmula de Newton:
v5 = v4 - f(v4)f'(v4) = 6,26 - 0,03-6,26 approx 6,26 + 0,005 = 6,265, m/s

Passo 9

Sexta iteração:
Calculamos f(v5) :
f(v5) = 2 times 9,81 - 0,5 times (6,265)^2 approx 19,62 - 0,5 times 39,20 approx 19,62 - 19,60 = 0,02
Como a variação entre v4 e v5 já está menor que 0,001 (precisão de 3 casas decimais), podemos parar as iterações.

Resposta

A velocidade terminal aproximada é vt approx 6,265, m/s .

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