Verifique se o sistema converge através do critério das linhas ou pelo critério de Sassenfeld, e em caso positivo, resolva através do método de Gauss-Seidel com e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações e precisa verificar se ele converge usando o critério das linhas ou o critério de Sassenfeld. Se der certo, vamos resolver esse sistema com o método de Gauss-Seidel, começando com a solução inicial x^(0) = (0, 0, 0) e parando quando a precisão for menor que epsilon < 5 times 10^-2 .
As equações que temos são:
l 5x + y + z = 5 3x + 4y + z = 6 3x + 3y + 6z = 0
Vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares, critérios de convergência e o método de Gauss-Seidel para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o sistema converge. Isso é importante porque, se não convergir, o método de Gauss-Seidel pode não nos dar a resposta correta.
Critério das Linhas
O critério das linhas, também conhecido como critério da diagonal dominante, verifica se, em cada linha da matriz dos coeficientes, o valor absoluto do coeficiente da variável principal é maior que a soma dos valores absolutos dos outros coeficientes naquela mesma linha.
Vamos analisar cada equação:
Primeira Equação: 5x + y + z = 5
Coeficiente de x : 5
Soma dos outros coeficientes: |1| + |1| = 2
Verificação: 5 > 2 → Satisfaz
Segunda Equação: 3x + 4y + z = 6
Coeficiente de y : 4
Soma dos outros coeficientes: |3| + |1| = 4
Verificação: 4 > 4 → Não satisfaz (precisaria ser maior)
Terceira Equação: 3x + 3y + 6z = 0
Coeficiente de z : 6
Soma dos outros coeficientes: |3| + |3| = 6
Verificação: 6 > 6 → Não satisfaz (precisaria ser maior)
Como nem todas as linhas satisfazem o critério da diagonal dominante, precisamos usar o Critério de Sassenfeld.
Critério de Sassenfeld
Esse critério é mais flexível e nos ajuda a determinar a convergência mesmo quando o critério das linhas não é atendido.
A ideia é calcular fatores betai para cada variável, onde:
Todos os betai são menores que 1 ( 0,4 , 0,55 , 0,475 ), então o sistema converge pelo Critério de Sassenfeld.
Passo 3
Agora que sabemos que o sistema converge, vamos resolver usando o método de Gauss-Seidel. Esse método atualiza as variáveis iterativamente, usando os valores mais recentes disponíveis.
Vamos reescrever as equações para expressar cada variável em termos das outras:
Primeira Equação:
x = 5 - y - z5
Segunda Equação:
y = 6 - 3x - z4
Terceira Equação:
z = 0 - 3x - 3y6 = -3x - 3y6 = -x + y2
Começamos com a solução inicial x^(0) = (0, 0, 0) .
Vamos iterar até que a diferença entre as soluções sucessivas seja menor que epsilon = 5 times 10^-2 .
Iteração 1:
Atualizando x :
x^(1) = 5 - 0 - 05 = 1
Atualizando y :
y^(1) = 6 - 3 times 1 - 04 = 6 - 34 = 34 = 0,75
Atualizando z :
z^(1) = -1 + 0,752 = -1,752 = -0,875
Solução após Iteração 1: (1, 0,75, -0,875)
Verificando o Erro:
Vamos calcular a diferença entre x^(1) e x^(0) :
|1 - 0| = 1 > 0,05
Como ainda não alcançamos a precisão desejada, vamos para a próxima iteração.