Verifique se o sistema converge através do critério das linhas ou pelo critério de Sassenfeld, e em caso positivo, resolva através do método de Gauss-Seidel com x^(0)=(0,0,0) e epsilon<5.10^-2.
l 5 x+y+z=5 3 x+4 y+z=6 3 x+3 y+6 z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações e precisa verificar se ele converge usando o critério das linhas ou o critério de Sassenfeld. Se der certo, vamos resolver esse sistema com o método de Gauss-Seidel, começando com a solução inicial x^(0) = (0, 0, 0) e parando quando a precisão for menor que epsilon < 5 times 10^-2 .
As equações que temos são:
l 5x + y + z = 5 3x + 4y + z = 6 3x + 3y + 6z = 0
Vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares, critérios de convergência e o método de Gauss-Seidel para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o sistema converge. Isso é importante porque, se não convergir, o método de Gauss-Seidel pode não nos dar a resposta correta.

Critério das Linhas

O critério das linhas, também conhecido como critério da diagonal dominante, verifica se, em cada linha da matriz dos coeficientes, o valor absoluto do coeficiente da variável principal é maior que a soma dos valores absolutos dos outros coeficientes naquela mesma linha.
Vamos analisar cada equação:
  1. Primeira Equação: 5x + y + z = 5
    • Coeficiente de x : 5
    • Soma dos outros coeficientes: |1| + |1| = 2
    • Verificação: 5 > 2 Satisfaz
  2. Segunda Equação: 3x + 4y + z = 6
    • Coeficiente de y : 4
    • Soma dos outros coeficientes: |3| + |1| = 4
    • Verificação: 4 > 4 Não satisfaz (precisaria ser maior)
  3. Terceira Equação: 3x + 3y + 6z = 0
    • Coeficiente de z : 6
    • Soma dos outros coeficientes: |3| + |3| = 6
    • Verificação: 6 > 6 Não satisfaz (precisaria ser maior)
Como nem todas as linhas satisfazem o critério da diagonal dominante, precisamos usar o Critério de Sassenfeld.

Critério de Sassenfeld

Esse critério é mais flexível e nos ajuda a determinar a convergência mesmo quando o critério das linhas não é atendido.
A ideia é calcular fatores betai para cada variável, onde:
betai = 1|aii| ( sumj=1^i-1 |aij| betaj + sumj=i+1^n |aij| )
Se todos os betai < 1 , o sistema converge.
Vamos calcular:
  1. Para beta1 :
    • Não há somatórios antes, então:
beta1 = 15 (|1| + |1|) = 25 = 0,4
  1. Para beta2 :
beta2 = 14 (|3| beta1 + |1|) = 14 (3 times 0,4 + 1) = 14 (1,2 + 1) = 2,24 = 0,55
  1. Para beta3 :
beta3 = 16 (|3| beta1 + |3| beta2 + 0) = 16 (3 times 0,4 + 3 times 0,55) = 16 (1,2 + 1,65) = 2,856 = 0,475
Todos os betai são menores que 1 ( 0,4 , 0,55 , 0,475 ), então o sistema converge pelo Critério de Sassenfeld.

Passo 3

Agora que sabemos que o sistema converge, vamos resolver usando o método de Gauss-Seidel. Esse método atualiza as variáveis iterativamente, usando os valores mais recentes disponíveis.
Vamos reescrever as equações para expressar cada variável em termos das outras:
  1. Primeira Equação:
x = 5 - y - z5
  1. Segunda Equação:
y = 6 - 3x - z4
  1. Terceira Equação:
z = 0 - 3x - 3y6 = -3x - 3y6 = -x + y2
Começamos com a solução inicial x^(0) = (0, 0, 0) .
Vamos iterar até que a diferença entre as soluções sucessivas seja menor que epsilon = 5 times 10^-2 .

Iteração 1:

  • Atualizando x :
x^(1) = 5 - 0 - 05 = 1
  • Atualizando y :
y^(1) = 6 - 3 times 1 - 04 = 6 - 34 = 34 = 0,75
  • Atualizando z :
z^(1) = -1 + 0,752 = -1,752 = -0,875
Solução após Iteração 1: (1, 0,75, -0,875)

Verificando o Erro:

Vamos calcular a diferença entre x^(1) e x^(0) :
|1 - 0| = 1 > 0,05
Como ainda não alcançamos a precisão desejada, vamos para a próxima iteração.

Iteração 2:

  • Atualizando x :
x^(2) = 5 - 0,75 - (-0,875)5 = 5 - 0,75 + 0,8755 = 5,1255 = 1,025
  • Atualizando y :
y^(2) = 6 - 3 times 1,025 - (-0,875)4 = 6 - 3,075 + 0,8754 = 3,84 = 0,95
  • Atualizando z :
z^(2) = -1,025 + 0,952 = -1,9752 = -0,9875
Solução após Iteração 2: (1,025, 0,95, -0,9875)

Verificando o Erro:

Diferença de x :
|1,025 - 1| = 0,025 < 0,05
Como a diferença para x já está abaixo de epsilon , podemos parar as iterações.

Resposta

Após 2 iterações pelo método de Gauss-Seidel, a solução aproximada do sistema é:
x approx 1,025, y approx 0,95, z approx -0,9875

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