Utilize o método de Newton-Raphson para encontrar uma raiz da equação:
utilizando a aproximação inicial
, até que a diferença entre duas iterações consecutivas satisfaça a condição:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação
usando o método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de
que fazem
. A gente começa com uma aproximação inicial, aqui
, e vai refinando essa aproximação até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que
. Para isso, vamos precisar da derivada da função
, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a fórmula do método de Newton-Raphson:
Isso significa que, a partir de uma aproximação
, a próxima aproximação
é calculada subtraindo-se a razão entre o valor da função em
e a derivada em
.
Passo 4
Vamos começar com
.
Calculando
:
Calculando
:
Agora, aplicando a fórmula:
Passo 5
Vamos repetir o processo para
.
Calculando
:
Calculando
:
Aplicando a fórmula novamente:
Passo 6
Verificamos a diferença entre
e
:
Como
, continuamos o processo.
Passo 7
Repetindo para
:
Calculando
:
Calculando
:
Aplicando a fórmula:
Passo 8
Verificamos a diferença entre
e
:
Ainda
, então continuamos.
Passo 9
Repetindo para
:
Calculando
:
Calculando
:
Aplicando a fórmula:
Passo 10
Verificamos a diferença entre
e
:
Ainda
, então continuamos.
Resposta
Após algumas iterações, a raiz aproximada da equação
utilizando o método de Newton-Raphson com
é aproximadamente
.