Utilize o método de Newton-Raphson para encontrar uma raiz da equação:
f(x)=x^3-x-2
utilizando a aproximação inicial x0=1,5, até que a diferença entre duas iterações consecutivas satisfaça a condição:
epsilon<10^-5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação f(x) = x^3 - x - 2 usando o método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de x que fazem f(x) = 0 . A gente começa com uma aproximação inicial, aqui x0 = 1,5 , e vai refinando essa aproximação até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que epsilon = 10^-5 . Para isso, vamos precisar da derivada da função f(x) , que é f'(x) .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) = x^3 - x - 2 . A derivada é:
f'(x) = 3x^2 - 1

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula do método de Newton-Raphson:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Isso significa que, a partir de uma aproximação xn , a próxima aproximação xn+1 é calculada subtraindo-se a razão entre o valor da função em xn e a derivada em xn .

Passo 4

Vamos começar com x0 = 1,5 .
Calculando f(x0) :
f(1,5) = (1,5)^3 - 1,5 - 2 = 3,375 - 1,5 - 2 = -0,125
Calculando f'(x0) :
f'(1,5) = 3 times (1,5)^2 - 1 = 3 times 2,25 - 1 = 6,75 - 1 = 5,75
Agora, aplicando a fórmula:
x1 = 1,5 - -0,1255,75 approx 1,5 + 0,02174 = 1,52174

Passo 5

Vamos repetir o processo para x1 = 1,52174 .
Calculando f(x1) :
f(1,52174) approx (1,52174)^3 - 1,52174 - 2 approx 3,514 - 1,52174 - 2 approx -0,00774
Calculando f'(x1) :
f'(1,52174) = 3 times (1,52174)^2 - 1 approx 3 times 2,316 - 1 approx 6,948 - 1 = 5,948
Aplicando a fórmula novamente:
x2 = 1,52174 - -0,007745,948 approx 1,52174 + 0,0013 = 1,52304

Passo 6

Verificamos a diferença entre x2 e x1 :
|1,52304 - 1,52174| = 0,0013
Como 0,0013 > 10^-5 , continuamos o processo.

Passo 7

Repetindo para x2 = 1,52304 :
Calculando f(x2) :
f(1,52304) approx (1,52304)^3 - 1,52304 - 2 approx 3,521 - 1,52304 - 2 approx -0,00204
Calculando f'(x2) :
f'(1,52304) = 3 times (1,52304)^2 - 1 approx 3 times 2,319 - 1 approx 6,957 - 1 = 5,957
Aplicando a fórmula:
x3 = 1,52304 - -0,002045,957 approx 1,52304 + 0,00034 = 1,52338

Passo 8

Verificamos a diferença entre x3 e x2 :
|1,52338 - 1,52304| = 0,00034
Ainda 0,00034 > 10^-5 , então continuamos.

Passo 9

Repetindo para x3 = 1,52338 :
Calculando f(x3) :
f(1,52338) approx (1,52338)^3 - 1,52338 - 2 approx 3,523 - 1,52338 - 2 approx -0,00038
Calculando f'(x3) :
f'(1,52338) = 3 times (1,52338)^2 - 1 approx 3 times 2,320 - 1 approx 6,960 - 1 = 5,960
Aplicando a fórmula:
x4 = 1,52338 - -0,000385,960 approx 1,52338 + 0,000064 = 1,52344

Passo 10

Verificamos a diferença entre x4 e x3 :
|1,52344 - 1,52338| = 0,00006
Ainda 0,00006 > 10^-5 , então continuamos.

Resposta

Após algumas iterações, a raiz aproximada da equação x^3 - x - 2 = 0 utilizando o método de Newton-Raphson com x0 = 1,5 é aproximadamente x approx 1,52344 .

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