Um corpo, de massa m = 200 g, tem seu movimento restrito a uma superfície plana horizontal, parametrizada pelas coordenadas
e
. Nesse deslocamento (avaliado em referencial inercial), sofre a ação da força
, onde
é medido em Newtons
em metros.
b) Supondo agora a ação de uma força
, com as mesmas unidades de
, calcule o trabalho por ela realizado ao longo da mesma trajetória fechada.
b) Supondo agora a ação de uma força
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um corpo de massa 200 g que se move em uma superfície plana, com coordenadas $ x $ e $ y $. Nessa trajetória, inicialmente, ele sofre a ação de uma força $ \mathbf{F}_1 = 3y, \hat{\mathbf{i}} - 4x, \hat{\mathbf{j}} $. Agora, a parte (b) da questão nos pede para considerar uma nova força $ \mathbf{F}_2 = 4(y, \hat{\mathbf{i}} + x, \hat{\mathbf{j}}) $ e calcular o trabalho que essa força realiza ao longo da mesma trajetória fechada. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é trabalho e como calculá-lo para uma força em uma trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho na física. O trabalho $ W $ realizado por uma força $ \mathbf{F} $ ao mover um objeto ao longo de uma trajetória $ C $ é dado pela integral de linha:
Aqui, $ \oint $ indica que a trajetória é fechada, $ \mathbf{F} $ é a força aplicada, e $ d\mathbf{r} $ é um elemento infinitesimal de deslocamento ao longo da trajetória.
Passo 3
Agora, precisamos analisar a força $ \mathbf{F}_2 = 4(y, \hat{\mathbf{i}} + x, \hat{\mathbf{j}}) $. Para calcular o trabalho realizado por essa força ao longo de uma trajetória fechada, devemos verificar se a força é conservativa ou não. Uma força conservativa é aquela cujo trabalho ao longo de qualquer trajetória fechada é zero.
Passo 4
Para verificar se $ \mathbf{F}_2 $ é conservativa, calculamos o rotacional (ou curl) da força. Em duas dimensões, o rotacional de $ \mathbf{F} = P, \hat{\mathbf{i}} + Q, \hat{\mathbf{j}} $ é dado por:
Aplicando isso à $ \mathbf{F}_2 $:
Então,
Portanto,
Passo 5
Como o rotacional de $ \mathbf{F}_2 $ é zero, isso indica que $ \mathbf{F}_2 $ é uma força conservativa. Para forças conservativas, o trabalho realizado ao longo de qualquer trajetória fechada é sempre zero, independentemente da forma da trajetória.
Passo 6
Portanto, concluímos que o trabalho realizado pela força $ \mathbf{F}_2 $ ao longo de uma trajetória fechada é:
Resposta
O trabalho realizado pela força $ \mathbf{F}_2 $ ao longo da trajetória fechada é igual a zero.