Um corpo, de massa m = 200 g, tem seu movimento restrito a uma superfície plana horizontal, parametrizada pelas coordenadas x e y. Nesse deslocamento (avaliado em referencial inercial), sofre a ação da força F1=3 y i-4 x j, onde F1 é medido em Newtons e x e y em metros.
c) A partir dos resultados obtidos em a) e b), o que se pode afirmar a respeito do caráter conservativo (ou não) de F1 e F2?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um corpo de massa 200 g movendo-se em uma superfície plana, com as coordenadas x e y. Nesse movimento, atua a força F1 = 3y, i - 4x, j. O que a gente precisa fazer nessa parte © é, usando os resultados dos itens a) e b), descobrir se F1 e F2 são forças conservativas ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma força ser conservativa e como verificar isso usando conceitos de cálculo vetorial, como o rotacional da força.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma força conservativa. Uma força é conservativa se ela pode ser derivada de um potencial escalar, ou seja, se existe uma função U(x,y) tal que F = -nabla U. Além disso, uma condição prática para verificar se uma força é conservativa é calcular o rotacional dela. Se o rotacional for zero ( nabla times F = 0) em toda a região do espaço onde a força atua, então a força é conservativa.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F1. Lembrando que, em duas dimensões, o rotacional de uma força F = Fx, i + Fy, j é dado por:
nabla times F = ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
No nosso caso, F1 = 3y, i - 4x, j, então:
Fx = 3y Fy = -4x
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Fypartial x = partial (-4x)partial x = -4 partial Fxpartial y = partial (3y)partial y = 3
Então:
nabla times F1 = (-4) - (3) = -7 neq 0

Passo 4

Como o rotacional de F1 é diferente de zero ( -7), isso nos indica que F1 não é uma força conservativa. Ou seja, não existe uma função potencial U(x,y) que satisfaça F1 = -nabla U nesse caso.

Passo 5

Agora, vamos considerar a força F2. Embora o enunciado não tenha detalhado o que é F2, assumimos que, nos itens a) e b), foi analisada outra força que interage com o sistema. Para determinar se F2 é conservativa, precisamos aplicar o mesmo critério: calcular o rotacional de F2.
Se, por exemplo, no item b) foi mostrado que nabla times F2 = 0, então F2 seria uma força conservativa. Caso contrário, não seria.

Passo 6

Como estamos utilizando os resultados dos itens a) e b), e assumindo que F2 teve seu rotacional calculado nesses passos, vamos concluir com base nisso:
  • Se nabla times F2 = 0, então F2 é conservativa.
  • Se nabla times F2 neq 0, então F2 não é conservativa.

Resposta

Com base nos cálculos realizados, a força F1 = 3y, i - 4x, j não é conservativa, pois seu rotacional é diferente de zero ( nabla times F1 = -7 neq 0). Quanto à força F2, dependendo dos resultados obtidos nos itens a) e b), ela pode ser conservativa se o rotacional for zero, ou não conservativa caso contrário.

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