Um corpo, de massa m = 200 g, tem seu movimento restrito a uma superfície plana horizontal, parametrizada pelas coordenadas
e
. Nesse deslocamento (avaliado em referencial inercial), sofre a ação da força
, onde
é medido em Newtons
em metros.
c) A partir dos resultados obtidos em a) e b), o que se pode afirmar a respeito do caráter conservativo (ou não) de
e
?
c) A partir dos resultados obtidos em a) e b), o que se pode afirmar a respeito do caráter conservativo (ou não) de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um corpo de massa 200 g movendo-se em uma superfície plana, com as coordenadas
e
. Nesse movimento, atua a força
. O que a gente precisa fazer nessa parte © é, usando os resultados dos itens a) e b), descobrir se
e
são forças conservativas ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma força ser conservativa e como verificar isso usando conceitos de cálculo vetorial, como o rotacional da força.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma força conservativa. Uma força é conservativa se ela pode ser derivada de um potencial escalar, ou seja, se existe uma função
tal que
. Além disso, uma condição prática para verificar se uma força é conservativa é calcular o rotacional dela. Se o rotacional for zero (
) em toda a região do espaço onde a força atua, então a força é conservativa.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. Lembrando que, em duas dimensões, o rotacional de uma força
é dado por:
No nosso caso,
, então:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então:
Passo 4
Como o rotacional de
é diferente de zero (
), isso nos indica que
não é uma força conservativa. Ou seja, não existe uma função potencial
que satisfaça
nesse caso.
Passo 5
Agora, vamos considerar a força
. Embora o enunciado não tenha detalhado o que é
, assumimos que, nos itens a) e b), foi analisada outra força que interage com o sistema. Para determinar se
é conservativa, precisamos aplicar o mesmo critério: calcular o rotacional de
.
Se, por exemplo, no item b) foi mostrado que
, então
seria uma força conservativa. Caso contrário, não seria.
Passo 6
Como estamos utilizando os resultados dos itens a) e b), e assumindo que
teve seu rotacional calculado nesses passos, vamos concluir com base nisso:
- Se
, então é conservativa. - Se
, então não é conservativa.
Resposta
Com base nos cálculos realizados, a força
não é conservativa, pois seu rotacional é diferente de zero (
). Quanto à força
, dependendo dos resultados obtidos nos itens a) e b), ela pode ser conservativa se o rotacional for zero, ou não conservativa caso contrário.