Verifique se as equações abaixo são exatas. Em caso afirmativo, resolva-as:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. Aqui o conteúdo é equações diferenciais exatas, em que identificamos
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. Aqui o conteúdo é equações diferenciais exatas, em que identificamos
e sabemos que a equação é exata se
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Por ser exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é uma função “constante” em relação a
.
Passo 4
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso dá
, então
é constante.
Passo 5
A função potencial completa é
e a solução geral da equação diferencial exata fica na forma implícita
com
constante de integração.