Verifique se as equações abaixo são exatas. Em caso afirmativo, resolva-as:
\left(2 x+y^{2}\right) d x+2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(2x+y^{2}\bigr)\,dx + 2xy\,dy = 0
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. Aqui o conteúdo é equações diferenciais exatas, em que identificamos
M(x,y) = 2x + y^{2}, \quad N(x,y) = 2xy,
e sabemos que a equação é exata se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x + y^{2}) = 2y,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2xy) = 2y.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M(x,y) \quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = N(x,y).
Integramos \partial \Phi/\partial x = 2x + y^{2} em relação a x:
\Phi(x,y) = \int (2x + y^{2})\,dx = x^{2} + x\,y^{2} + h(y),
onde h(y) é uma função “constante” em relação a x.

Passo 4

Para encontrar h(y), derivamos \Phi em relação a y e igualamos a N(x,y):
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2} + x\,y^{2} + h(y)\bigr) = 2xy + h'(y) \stackrel{!}{=} N(x,y) = 2xy.
Isso dá h'(y)=0, então h(y) é constante.

Passo 5

A função potencial completa é
\Phi(x,y) = x^{2} + x\,y^{2},
e a solução geral da equação diferencial exata fica na forma implícita
x^{2} + x\,y^{2} = C,
com C constante de integração.

Resposta

x^{2} + x\,y^{2} = C

Exercícios relacionados