Verifique se as equações abaixo são exatas. Em caso afirmativo, resolva-as:
\left(y \cos x+2 x e^{y}\right)+\left(\sin x+x^{2} e^{y}-1\right) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação
\bigl(y\cos x+2x e^{y}\bigr)+\bigl(\sin x + x^{2}e^{y}-1\bigr)y'=0
é exata. Se for exata, precisamos encontrar uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=M(x,y)=y\cos x+2x e^{y}, \quad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=N(x,y)=\sin x+x^{2}e^{y}-1.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para testar exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\cos x+2x e^{y}\bigr) =\cos x+2x e^{y},
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\sin x+x^{2}e^{y}-1\bigr) =\cos x+2x e^{y}.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar \Psi(x,y), integramos M em relação a x:
\Psi(x,y) =\int\bigl(y\cos x+2x e^{y}\bigr)\,dx =y\sin x + x^{2}e^{y} + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Impondo \partial \Psi/\partial y=N(x,y), temos
\frac{\partial \Psi}{\partial y} =\sin x + x^{2}e^{y} + h'(y) \stackrel{!}{=}\sin x + x^{2}e^{y}-1 \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=-1
Portanto h(y)=-y (constante absorvida em C). A solução implícita fica
\Psi(x,y)=y\sin x + x^{2}e^{y}-y = C.

Resposta

A equação é exata e a solução implícita é
y\sin x + x^{2}e^{y}-y = C.

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