Um corpo de massa M e rapidez V move-se ao longo do sentido positivo do eixo x e colide com um corpo de massa M e rapidez 2 V , que move-se no sentido oposto, também sobre o eixo x . A colisão é perfeitamente inelástica. O valor da energia dissipada na colisão é igual a
(A) M V^2 / 4.
(B) 9 M V^2 / 4.
© MV^2 / 2.
(D) 2 MV^2.
(E) 5 MV^2 / 2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois corpos de massa $ M $ que se movem ao longo do eixo $ x $. Um deles está indo na direção positiva com rapidez $ V $ e o outro na direção oposta com rapidez $ 2V $. Eles colidem de forma perfeitamente inelástica, ou seja, eles se juntam após a colisão e se movem juntos. Precisamos calcular a energia que foi dissipada durante essa colisão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação do momento linear e cálculo de energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento linear antes da colisão. O momento linear ($ p $) de um objeto é dado por:
p
Onde $ m $ é a massa e $ v $ é a velocidade.

Passo 3

Calculando o momento do primeiro corpo:
p1 = M times V = MV
E o momento do segundo corpo:
p2 = M times (-2V) = -2MV
Aqui, usamos $ -2V $ porque o segundo corpo está se movendo na direção oposta.

Passo 4

O momento total antes da colisão é a soma dos momentos dos dois corpos:
ptotal antes = p1 + p2 = MV - 2MV = -MV
Isso significa que o sistema tem um momento total de $ -MV $ antes da colisão.

Passo 5

Na colisão perfeitamente inelástica, os dois corpos se juntam e movem-se com uma velocidade comum $ V_f $ após a colisão. Aplicamos a conservação do momento linear:
Vf
Ou seja:
ptotal antes = ptotal depois
-MV = (M + M) times Vf
Resolvendo para $ V_f $:
-MV = 2M times Vf
Então, a velocidade final é $ -\frac{V}{2} $.

Passo 6

Agora, vamos calcular a energia cinética antes e depois da colisão.
A energia cinética ($ E_c $) é dada por:
Ec
Antes da colisão:
Ec = 12 m v^2
Ec1 = 12 M V^2
Energia total antes:
Ec2 = 12 M (2V)^2 = 12 M times 4V^2 = 2MV^2

Passo 7

Após a colisão, ambos os corpos se movem juntos com velocidade $ V_f = -\frac{V}{2} $:
Vf = -V2

Passo 8

A energia dissipada na colisão é a diferença entre a energia total antes e depois:
Edissipada = Etotal antes - Etotal depois = 52 MV^2 - MV^24 = 104 MV^2 - 14 MV^2 = 94 MV^2

Resposta

A energia dissipada na colisão é igual a $ \frac{9}{4} MV^{2} $. A opção correta é a (B) $ \frac{9MV^{2}}{4} $.

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