Duas esferas metálicas, cada qual de 7,5 \mathrm{~g} de massa, contém 8,2 \times 10^{12} elétrons livres. Determinar: a) o número de elétrons livres que devem ser removidos de cada uma de forma que a força de repulsão eletrostática entre elas equilibra exatamente a força de atração gravitacional entre elas; b) Expresse o número de elétrons removidos como uma fração do número total de elétrons livies. R: a) 4 \times 10^{6}; b) 4,9 \times 10^{-17}.

Passo 1

O enunciado dá duas esferas metálicas idênticas, cada uma com massa m=7{,}5\text{ g}=7{,}5\times10^{-3}\text{ kg} e contendo N_0=8{,}2\times10^{12} elétrons livres. Queremos remover n elétrons de cada esfera de modo que a força de repulsão elétrica entre elas seja igual à força de atração gravitacional. Para isso vamos usar a lei de Coulomb e a lei da gravitação de Newton.

Passo 2

Escrevemos as duas forças e igualamos:
F_{\rm el} = k\,\frac{q^2}{r^2},\qquad F_{\rm g} = G\,\frac{m^2}{r^2},
onde q é a carga restante em cada esfera, k=9\times10^9\text{ N\cdotm}^2/\text{C}^2 e G=6{,}67\times10^{-11}\text{ N\cdotm}^2/\text{kg}^2. Como as duas escalam com 1/r^2, basta igualar os numeradores:

Passo 3

k\,q^2 = G\,m^2 \quad\Longrightarrow\quad q = m\,\sqrt{\frac{G}{k}}.
Substituindo os valores numéricos:
q = (7{,}5\times10^{-3})\, \sqrt{\frac{6{,}67\times10^{-11}}{9\times10^9}} \approx 6{,}46\times10^{-13}\text{ C}.

Passo 4

O número de elétrons removidos de cada esfera é
n = \frac{q}{e} \quad\text{com}\quad e=1{,}6\times10^{-19}\text{ C} \;\Longrightarrow\; n \approx \frac{6{,}46\times10^{-13}}{1{,}6\times10^{-19}} \approx 4{,}04\times10^{6}.
Arredondando, n\approx4\times10^6.

Passo 5

Para expressar esse valor como fração do total de elétrons livres, calculamos
\frac{n}{N_0} = \frac{4{,}04\times10^6}{8{,}2\times10^{12}} \approx 4{,}9\times10^{-7}.

Resposta

a) 4\times10^6 elétrons
b) 4,9\times10^{-7}

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