Um corpo move-se ao longo do eixo OX , segundo a lei: v=t^2+3 t-1. Onde x em metros e t em segundos. Se x =1,0 m quando t=1,0 s. Determinar:
a) x quando t=2,0 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que um corpo se move ao longo do eixo OX com uma velocidade que depende do tempo, dada por $ v = t^2 + 3t - 1 $. Queremos descobrir onde o corpo estará (qual será a posição $ x $) quando o tempo $ t $ for 2 segundos, sabendo que quando $ t = 1 $ segundo, a posição $ x $ é 1 metro. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração da velocidade para encontrar a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que velocidade ($ v v éçã x x çã t $). Ou seja:
t
Para encontrar a posição, precisamos integrar a função de velocidade:
v = dxdt
onde $ C $ é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial fornecida.

Passo 3

Vamos integrar a função de velocidade $ v = t^2 + 3t - 1 $:
v = t^2 + 3t - 1
Integrando termo a termo:
x(t) = integral (t^2 + 3t - 1) , dt + C

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial para encontrar $ C $. Sabemos que quando $ t = 1 $ segundo, $ x = 1 $ metro:
C
Calculando cada termo:
t = 1
x = 1
1 = (1)^33 + 3(1)^22 - 1 + C
1 = 13 + 32 - 1 + C
1 = 13 + 1.5 - 1 + C
1 = 13 + 0.5 + C
1 = 1.53 + C

Passo 5

Agora que temos $ C $, podemos escrever a expressão completa para $ x(t) $:
C

Passo 6

Finalmente, vamos calcular $ x $ quando $ t = 2 $ segundos:
x
Calculando cada termo:
t = 2
x(2) = (2)^33 + 3(2)^22 - 2 + 16
x(2) = 83 + 122 - 2 + 16
Para somar as frações, vamos converter tudo para sétimos:
x(2) = 83 + 6 - 2 + 16
x(2) = 83 + 4 + 16
x(2) = 166 + 246 + 16

Resposta

Quando $ t = 2,0 $ segundos, a posição $ x $ do corpo é aproximadamente 6,83 metros.

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