Um corpo move-se ao longo do eixo OX , segundo a lei: v=t^2+3 t-1. Onde x em metros e t em segundos. Se x=0,0 m quando t=0,0 s. Determinar:
a) A posição x e aceleração ax quando t=2,0 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde um corpo se move ao longo do eixo OX com a velocidade dada pela fórmula $ v = t^{2} + 3t - 1 $, onde $ x $ está em metros e $ t $ em segundos. Sabemos também que quando $ t = 0 $, a posição $ x = 0 $ metros. A gente precisa descobrir a posição $ x $ e a aceleração $ a_{x} $ quando $ t = 2, segundos $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo: integração para encontrar a posição a partir da velocidade, e derivação para encontrar a aceleração a partir da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição $ x(t) $. A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
x(t)

Passo 3

Vamos resolver essa integral termo a termo:
x(t) = integral t^2 , dt + integral 3t , dt - integral 1 , dt = t^33 + 3t^22 - t + C
Aqui, $ C $ é a constante de integração que a gente precisa descobrir usando a condição inicial $ x(0) = 0 $.

Passo 4

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar $ C $:
C
Então, a função da posição fica:
x(0) = 0^33 + 3 times 0^22 - 0 + C = 0 Rightarrow C = 0

Passo 5

Agora, vamos calcular a posição no tempo $ t = 2, segundos $:
t = 2, segundos
Calculando isso:
x(2) = 2^33 + 3 times 2^22 - 2 = 83 + 122 - 2 = 83 + 6 - 2

Passo 6

Agora, vamos encontrar a aceleração $ a_{x} $. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então:
ax
Agora, calculamos a aceleração em $ t = 2, segundos $:
ax = dvdt = ddt(t^2 + 3t - 1) = 2t + 3

Resposta

Quando $ t = 2,0, segundos $, a posição é $ x = \frac{20}{3} , metros $ e a aceleração é $ a_{x} = 7 , m/s^{2} $.

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