Um corpo move-se ao longo do eixo OX , segundo a lei:
. Onde x em metros e
em segundos. Se
quando
. Determinar:
a) A posição
e aceleração
quando
.
a) A posição
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde um corpo se move ao longo do eixo OX com a velocidade dada pela fórmula $ v = t^{2} + 3t - 1 $, onde $ x $ está em metros e $ t $ em segundos. Sabemos também que quando $ t = 0 $, a posição $ x = 0 $ metros. A gente precisa descobrir a posição $ x $ e a aceleração $ a_{x} $ quando $ t = 2, segundos $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo: integração para encontrar a posição a partir da velocidade, e derivação para encontrar a aceleração a partir da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a posição $ x(t) $. A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
Passo 3
Vamos resolver essa integral termo a termo:
Aqui, $ C $ é a constante de integração que a gente precisa descobrir usando a condição inicial $ x(0) = 0 $.
Passo 4
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar $ C $:
Então, a função da posição fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a posição no tempo $ t = 2, segundos $:
Calculando isso:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a aceleração $ a_{x} $. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então:
Agora, calculamos a aceleração em $ t = 2, segundos $:
Resposta
Quando $ t = 2,0, segundos $, a posição é $ x = \frac{20}{3} , metros $ e a aceleração é $ a_{x} = 7 , m/s^{2} $.