Um corpo move-se ao longo do eixo OX , segundo a lei: v=t^2+3 t-1. Onde x em metros e t em segundos. Se x=0,0 m quando t=0,0 s. Determinar:
b) Calcular a velocidade média e aceleração média entre t=1,0 s e t=5,0 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Aqui, a gente está lidando com cinemática, que estuda o movimento dos corpos. Precisamos calcular a velocidade média e a aceleração média de um corpo que se move ao longo do eixo OX entre os tempos $ t = 1,0 $ s e $ t = 5,0 $ s. A equação da velocidade dada é $ v(t) = t^{2} + 3t - 1 $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade média. Ela é definida como a variação da posição dividida pela variação do tempo. Matematicamente, é:
vmédia = Deé
Mas para encontrar $ \Delta x $, precisamos integrar a função da velocidade, já que a posição $ x(t) $ é a integral de $ v(t) $.

Passo 3

Vamos integrar a função da velocidade para encontrar a posição $ x(t) $. A integral de $ v(t) = t^{2} + 3t - 1 $ em relação a $ t $ é:
x(t)
Como sabemos que $ x(0) = 0 $, podemos encontrar a constante $ C $:
v(t) = t^2 + 3t - 1
Portanto, a posição é:
t

Passo 4

Agora, vamos calcular $ x(t) $ nos tempos $ t_1 = 1,0 $ s e $ t_2 = 5,0 $ s.
Para $ t = 1,0 $ s:
x(t)
Para $ t = 5,0 $ s:
t1 = 1,0
Vamos calcular cada termo:
t2 = 5,0
Somando:
t = 1,0

Passo 5

Agora, vamos encontrar a velocidade média usando a fórmula:
vmédia = x(5) - x(1)5 - 1 = 74,1667 - 564 é
Convertendo $ \frac{5}{6} $ para decimal:
56
Então:
56 approx 0,8333 , m é

Passo 6

Agora, vamos calcular a aceleração média. A aceleração média é a variação da velocidade dividida pela variação do tempo:
amédia = Deé
Precisamos avaliar $ v(t) $ nos tempos $ t_1 = 1,0 $ s e $ t_2 = 5,0 $ s.

Passo 7

Calculando $ v(t) $ em $ t = 1,0 $ s:
v(t)
Em $ t = 5,0 $ s:
t = 1,0

Passo 8

Agora, aplicamos na fórmula da aceleração média:
amédia = 39 - 35 - 1 = 364 = 9 , m/s^2 é

Resposta

A velocidade média entre $ t = 1,0 $ s e $ t = 5,0 $ s é aproximadamente $ 18,33 , m/s $ e a aceleração média nesse intervalo de tempo é $ 9 , m/s^{2} $.

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