Um corpo move-se ao longo do eixo OX , segundo a lei:
. Onde x em metros e
em segundos. Se
quando
. Determinar:
b) Calcular a velocidade média e aceleração média entre
e
.
b) Calcular a velocidade média e aceleração média entre
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Aqui, a gente está lidando com cinemática, que estuda o movimento dos corpos. Precisamos calcular a velocidade média e a aceleração média de um corpo que se move ao longo do eixo OX entre os tempos $ t = 1,0 $ s e $ t = 5,0 $ s. A equação da velocidade dada é $ v(t) = t^{2} + 3t - 1 $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é velocidade média. Ela é definida como a variação da posição dividida pela variação do tempo. Matematicamente, é:
Mas para encontrar $ \Delta x $, precisamos integrar a função da velocidade, já que a posição $ x(t) $ é a integral de $ v(t) $.
Passo 3
Vamos integrar a função da velocidade para encontrar a posição $ x(t) $. A integral de $ v(t) = t^{2} + 3t - 1 $ em relação a $ t $ é:
Como sabemos que $ x(0) = 0 $, podemos encontrar a constante $ C $:
Portanto, a posição é:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ x(t) $ nos tempos $ t_1 = 1,0 $ s e $ t_2 = 5,0 $ s.
Para $ t = 1,0 $ s:
Para $ t = 5,0 $ s:
Vamos calcular cada termo:
Somando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a velocidade média usando a fórmula:
Convertendo $ \frac{5}{6} $ para decimal:
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular a aceleração média. A aceleração média é a variação da velocidade dividida pela variação do tempo:
Precisamos avaliar $ v(t) $ nos tempos $ t_1 = 1,0 $ s e $ t_2 = 5,0 $ s.
Passo 7
Calculando $ v(t) $ em $ t = 1,0 $ s:
Em $ t = 5,0 $ s:
Passo 8
Agora, aplicamos na fórmula da aceleração média:
Resposta
A velocidade média entre $ t = 1,0 $ s e $ t = 5,0 $ s é aproximadamente $ 18,33 , m/s $ e a aceleração média nesse intervalo de tempo é $ 9 , m/s^{2} $.