Um corpo se move em movimento retilíneo segundo a lei S(t)=\frac{1}{2} t^{3}-2 t, onde S é a distância em metros e t o tempo em segundos. Determine sua velocidade e aceleração no instante t=2 segundos. Resp: 4 m / s e 6 m / s^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a função de posição
S(t)=\frac{1}{2}t^{3}-2t
em que S está em metros e t em segundos, e pede a velocidade e a aceleração no instante t=2. Na cinemática de movimento retilíneo, a velocidade v(t) é a primeira derivada de S(t) e a aceleração a(t) é a segunda derivada de S(t).

Passo 2

Calculamos a velocidade como
v(t)=S'(t)=\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{1}{2}t^{3}-2t\Bigr) =\frac{1}{2}\cdot3t^{2}-2 =\frac{3}{2}t^{2}-2.
Avalia-mos em t=2:
v(2)=\frac{3}{2}\cdot(2)^{2}-2 = \frac{3}{2}\cdot4-2 =6-2 =4.
Portanto, a velocidade no instante t=2 é 4 m/s.

Passo 3

Calculamos a aceleração como
a(t)=v'(t)=\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{3}{2}t^{2}-2\Bigr) =3t.
Avalia-mos em t=2:
a(2)=3\cdot2=6.
Logo, a aceleração no instante t=2 é 6 m/ s^{2}.

Resposta

A velocidade em t=2 é 4 m/s e a aceleração em t=2 é 6 m/ s^{2}.

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