(2,5 pts) Calcule \iint_{S}(\vec{F} \cdot n) d S, onde S é a porção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16, que está acima do plano x y e que se encontra no interior do cilindro x^{2}+y^{2}= 12, com normal exterior e \vec{F}(x, y, z)=(-2 y, 2 x, 5).
Solução: Como S é a parte superior da esfera restrita a x^{2}+y^{2} \leq 12, podemos parametrizá-la da seguinte forma:
\begin{gathered} \varphi(x, y)=\left(x, y, \sqrt{16-x^{2}-y^{2}}\right), x^{2}+y^{2} \leq 12 \\\ \text { como } N=\left(\frac{x}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}}, \frac{y}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}}, 1\right) \text { temos que } \\\ \iint_{S}(\vec{F} \cdot n) d S=\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 12} 5 d x d y=60 \pi \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}\bigl(\vec F\cdot n\bigr)\,dS
onde S é a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 acima do plano xy e dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=12, com normal externa, e \vec F(x,y,z)=(-2y,2x,5).
O conteúdo utilizado será: encontrar o versor normal à esfera, calcular \vec F\cdot n e projetar S sobre o plano xy para escrever dS em termos de dx\,dy.

Passo 2

Na esfera de raio 4 o versor normal externo é
n=\frac{(x,y,z)}{4}.
Logo
\vec F\cdot n =\bigl(-2y,2x,5\bigr)\cdot\frac{(x,y,z)}{4} =\frac{-2yx+2xy+5z}{4} =\frac{5z}{4}.

Passo 3

O fluxo fica
\iint_{S}(\vec F\cdot n)\,dS =\iint_{S}\frac{5z}{4}\,dS.
Para parametrizar por projeção no plano xy, note que a parte superior da esfera é o gráfico
z=\sqrt{16-r^{2}},\quad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\le\sqrt{12}.

Passo 4

Para o gráfico z=g(x,y) vale
dS =\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dx\,dy =\frac{4}{z}\,dx\,dy.
Aqui g_x=-x/z e g_y=-y/z, de onde \sqrt{1+(x^2+y^2)/z^2}=\sqrt{16/z^2}=4/z.
Assim
\frac{5z}{4}\,dS =\frac{5z}{4}\cdot\frac{4}{z}\,dx\,dy =5\,dx\,dy.

Passo 5

O disco de projeção é r\le\sqrt{12}, então
\iint_{S}(\vec F\cdot n)\,dS =\iint_{r\le\sqrt{12}}5\,dx\,dy =5\cdot\bigl(\text{área do disco}\bigr) =5\cdot\bigl(\pi\cdot12\bigr) =60\pi.á

Resposta

60\pi

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