(2,5 pts) Calcule
, onde
é a porção da esfera
, que está acima do plano
e que se encontra no interior do cilindro
12, com normal exterior e
.
Solução: Como
é a parte superior da esfera restrita a
, podemos parametrizá-la da seguinte forma:
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
onde
é a parte da esfera
acima do plano
e dentro do cilindro
, com normal externa, e
.
O conteúdo utilizado será: encontrar o versor normal à esfera, calcular e projetar
sobre o plano
para escrever
em termos de
.
O conteúdo utilizado será: encontrar o versor normal à esfera, calcular
Passo 2
Na esfera de raio
o versor normal externo é
Logo
Passo 3
O fluxo fica
Para parametrizar por projeção no plano
, note que a parte superior da esfera é o gráfico
Passo 4
Para o gráfico
vale
Aqui
e
, de onde
.
Assim
Assim
Passo 5
O disco de projeção é
, então