(
) Calcule a área da superfície
que é a parte do parabolóide
compreendida no interior da esfera
.
Solução: A superfíe é a parte do parabolóide, logo uma parametrização é
Para encontrar o conjunto dos parâmetros
vamos usar a equação da esfera (que dá a restrição). Para isto, trocamos
na equação da esfera e obtemos que
ou
. Daí segue que
Para calcular a área, notamos que
,
Passo 1
O enunciado pede a área da parte do parabolóide
que fica dentro da esfera
Vamos usar a fórmula da área de uma superfície parametrizada e integrar sobre o domínio projetado no plano
.
Passo 2
Parametrizamos o parabolóide por
para
variando em algum domínio
.
Passo 3
Para achar
, impomos que
satisfaça a equação da esfera. Chamando
, temos
Substituindo
em
obtém-se
Logo
Passo 4
Calculamos os vetores
e
e seu produto vetorial:
e o comprimento
Passo 5
A fórmula da área é
Passo 6
Em coordenadas polares
:
Fazendo
,
, a integral em
vira
Passo 7
Colocando tudo junto: