( 2,5 \mathrm{pts} ) Calcule a área da superfície S que é a parte do parabolóide x^{2}+y^{2}= 3 z compreendida no interior da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 z.
Solução: A superfíe é a parte do parabolóide, logo uma parametrização é
\varphi(x, y)=\left(x, y, \frac{x^{2}+y^{2}}{3}\right)
Para encontrar o conjunto dos parâmetros D vamos usar a equação da esfera (que dá a restrição). Para isto, trocamos x^{2}+y^{2}=3 z na equação da esfera e obtemos que z=1 ou z=0. Daí segue que
D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 3\right\}
Para calcular a área, notamos que N=\left(\frac{-2 x}{3}, \frac{-2 y}{3}, 1\right),
\begin{aligned} & \operatorname{logo}\|N\|=\frac{1}{3} \sqrt{4 x^{2}+4 y^{2}+9} . \text { Portanto } \\\ & \qquad A(S)=\frac{1}{3} \iint_{x^{2}+y^{2} \leq 3} \sqrt{4 x^{2}+4 y^{2}+9} d x d y=\frac{\pi}{6}(7 \sqrt{21}-9) \text { u.a. } \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do parabolóide
x^{2}+y^{2}=3z
que fica dentro da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4z.
Vamos usar a fórmula da área de uma superfície parametrizada e integrar sobre o domínio projetado no plano xy.

Passo 2

Parametrizamos o parabolóide por
\varphi(x,y)=\bigl(x,\;y,\;\tfrac{x^{2}+y^{2}}{3}\bigr),
para (x,y) variando em algum domínio D\subset\mathbb{R}^{2}.

Passo 3

Para achar D, impomos que \varphi(x,y) satisfaça a equação da esfera. Chamando r^{2}=x^{2}+y^{2}, temos
z=\tfrac{r^{2}}{3} \quad\text{e}\quad r^{2}+z^{2}=4z.
Substituindo z=\tfrac{r^{2}}{3} em r^{2}+z^{2}=4z obtém-se
r^{2}+\bigl(\tfrac{r^{2}}{3}\bigr)^{2} =\tfrac{4\,r^{2}}{3} \;\Longrightarrow\; r^{2}\bigl(r^{2}-3\bigr)=0 \;\Longrightarrow\; 0\le r\le\sqrt{3}.
Logo
D=\bigl\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le3\bigr\}.

Passo 4

Calculamos os vetores \varphi_x e \varphi_y e seu produto vetorial:
\varphi_x=(1,0,\tfrac{2x}{3}), \quad \varphi_y=(0,1,\tfrac{2y}{3}),
N=\varphi_x\times\varphi_y =\Bigl(-\tfrac{2x}{3},\,-\tfrac{2y}{3},\,1\Bigr),
e o comprimento
\|N\| =\tfrac{1}{3}\sqrt{4x^{2}+4y^{2}+9}.

Passo 5

A fórmula da área é
A(S) =\iint_{D}\|N\|\;dx\,dy =\tfrac{1}{3}\iint_{x^{2}+y^{2}\le3}\sqrt{4(x^{2}+y^{2})+9}\;dx\,dy.

Passo 6

Em coordenadas polares \bigl(x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta\bigr):
A(S) =\tfrac{1}{3}\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt{3}} \sqrt{4r^{2}+9}\;r\,dr\,d\theta.
Fazendo u=4r^{2}+9, du=8r\,dr, a integral em r vira
\int_{0}^{\sqrt{3}}r\sqrt{4r^{2}+9}\,dr =\tfrac{1}{12}\bigl[(4r^{2}+9)^{3/2}\bigr]_{0}^{\sqrt{3}} =\tfrac{1}{12}\bigl(21^{3/2}-9^{3/2}\bigr).

Passo 7

Colocando tudo junto:
A(S) =\tfrac{1}{3}\cdot2\pi\cdot\tfrac{1}{12}\bigl(21\sqrt{21}-27\bigr) =\tfrac{\pi}{6}\bigl(7\sqrt{21}-9\bigr).

Resposta

A(S)=\frac{\pi}{6}\bigl(7\sqrt{21}-9\bigr).

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