Um corpo move-se em trajetória circular de raio
com velocidade escalar constante
(isto é, MCU). Despreze a resistência do ar.
a) Determine a aceleração tangencial
e a aceleração centrípeta
em função de
.
b) Escreva
em função de
e
. Em seguida, reescreva-o em função da velocidade angular
usando
.
c) Para
e
, indique os valores de
e
mantendo
simbólico (observe se dependem de
no MCU).
a) Determine a aceleração tangencial
b) Escreva
c) Para
Passo 1
O enunciado dá um corpo que se move em trajetória circular de raio
com velocidade escalar constante
(movimento circular uniforme — MCU). Despreza-se a resistência do ar.\n
Perguntas que o enunciado faz:
Perguntas que o enunciado faz:
- a) Determine a aceleração tangencial
e a aceleração centrípeta em função de e ,r.\n - b) Escreva
(módulo da aceleração total) em função de e ,r. Em seguida reescreva esse módulo em função da velocidade angular usando \n - c) Para
e , indique os valores de e mantendo simbólico e observe se eles dependem de no MCU.\n
Informações relevantes dadas:
- Raio da trajetória:
. - Velocidade escalar (magnitude da velocidade):
, constante no tempo. - Movimento: MCU (velocidade tangencial constante em módulo, apenas muda direção).
- Relação entre velocidade escalar e velocidade angular:
Passo 2
Conceitos básicos e decomposição da aceleração (mini-aula calminha):\n
Quando um corpo se move numa curva podemos decompor a aceleração instantânea em duas componentes ortogonais:
Quando um corpo se move numa curva podemos decompor a aceleração instantânea em duas componentes ortogonais:
- componente tangencial
: paralela à velocidade instantânea, responsável por mudar o módulo (valor) da velocidade escalar; sua magnitude é , onde é o módulo da velocidade. O vetor tangencial aponta no sentido do aumento de velocidade (mesmo sentido da velocidade se estiver acelerando) ou no sentido oposto se estiver reduzindo. - componente normal ou centrípeta
: perpendicular à velocidade, apontando para o centro da curva, responsável por mudar a direção da velocidade; sua magnitude, para movimento circular, é dada por .\n
Explicando as letras:é a velocidade escalar (módulo), é o raio da trajetória, é a velocidade angular (rad/s) e será o vetor unitário radial que aponta para fora do centro (logo a aceleração centrípeta, que aponta para o centro, tem sinal negativo se escrevermos em função de ).
Passo 3
Aceleração tangencial
no MCU (passo a passo):\n
- Por definição, a componente tangencial tem magnitude
, pois mede a taxa de variação do módulo da velocidade.\n - No enunciado foi dito que o movimento é circular com velocidade escalar constante
. Isso significa que para todo , logo \n - Portanto, a componente tangencial é nula. Em forma vetorial:
Explicação extra: isso quer dizer que não há aceleração que aumente ou diminua o módulo da velocidade — só muda a direção da velocidade.
Passo 4
Aceleração centrípeta
no MCU (derivação e interpretação):\n
- Para movimento circular com velocidade escalar
e raio , a magnitude da aceleração normal (centrípeta) vale
Aqui
é o quadrado do módulo da velocidade e
o raio.\n
- Vetorialmente, se
é o vetor unitário radial apontando para fora do centro, então a aceleração centrípeta (que aponta para o centro) é
Observação intuitiva: quanto maior a velocidade, maior a aceleração centrípeta necessária para manter a curva; quanto maior o raio, menor a aceleração necessária para a mesma velocidade.
Passo 5
Módulo da aceleração total
e relação com
:\n
- Em movimento geral,
porque as componentes são perpendiculares.\n - No nosso caso,
(Passo 3). Assim
- Agora usando
, substituímos:
Portanto temos as duas formas equivalentes:
Explicação das variáveis:
em
,
em
,
em
; cada expressão dá
como unidade de aceleração.
Passo 6
Parte (c): valores para
e
, mantendo
simbólico e verificando dependência de
:\n
- Como visto,
independentemente de e de (desde que a velocidade escalar seja constante). Logo para e temos
- A aceleração centrípeta em magnitude é
. Com isso fica
Vetorialmente:
- Dependência de
: os módulos e não dependem de no MCU (são constantes). Observação final: embora os módulos sejam constantes, a direção de muda com o tempo porque gira junto com a posição ao longo da trajetória.
Resposta
(a)
\n
(b) usando
\n
(c) (com
); os módulos não dependem de
no MCU.
(b)
(c)