Um corpo move-se em trajetória circular de raio \boldsymbol{r} com velocidade escalar constante \boldsymbol{v}_{\mathbf{0}} (isto é, MCU). Despreze a resistência do ar.
a) Determine a aceleração tangencial \boldsymbol{a}_{\boldsymbol{t}} e a aceleração centrípeta \boldsymbol{a}_{\boldsymbol{c}} em função de \boldsymbol{v}_{\mathbf{0}} \mathbf{e} \boldsymbol{r}.
b) Escreva |\vec{a}| em função de \boldsymbol{v}_{\mathbf{0}} e \boldsymbol{r}. Em seguida, reescreva-o em função da velocidade angular \boldsymbol{\omega} usando \boldsymbol{v}_{0}=\boldsymbol{\omega} \boldsymbol{r}.
c) Para \boldsymbol{t}=\mathbf{3} \boldsymbol{s} e \boldsymbol{r}=\mathbf{5} \boldsymbol{m}, indique os valores de \boldsymbol{a}_{\boldsymbol{t}} e \boldsymbol{a}_{\boldsymbol{c}} mantendo \boldsymbol{v}_{\mathbf{0}} simbólico (observe se dependem de t no MCU).

Passo 1

O enunciado dá um corpo que se move em trajetória circular de raio \,r\, com velocidade escalar constante \,v_{0}\, (movimento circular uniforme — MCU). Despreza-se a resistência do ar.\n
Perguntas que o enunciado faz:
  1. a) Determine a aceleração tangencial \, \vec a_{t}\, e a aceleração centrípeta \, \vec a_{c}\, em função de \,v_{0} e ,r.\n
  2. b) Escreva |\vec a| (módulo da aceleração total) em função de \,v_{0} e ,r. Em seguida reescreva esse módulo em função da velocidade angular \,\omega\, usando \,v_{0}=\omega r\,.\n
  3. c) Para \,t=\mathbf{3}\\ \text{s} e \,r=\mathbf{5}\\ \text{m}, indique os valores de \, \vec a_{t}\, e \, \vec a_{c}\, mantendo \,v_{0}\, simbólico e observe se eles dependem de \,t\, no MCU.\n
    Informações relevantes dadas:
  • Raio da trajetória: \,r\,.
  • Velocidade escalar (magnitude da velocidade): \,v_{0}\,, constante no tempo.
  • Movimento: MCU (velocidade tangencial constante em módulo, apenas muda direção).
  • Relação entre velocidade escalar e velocidade angular: \,v_{0}=\omega r\,.

Passo 2

Conceitos básicos e decomposição da aceleração (mini-aula calminha):\n
Quando um corpo se move numa curva podemos decompor a aceleração instantânea em duas componentes ortogonais:
  • componente tangencial \,\vec a_{t}\,: paralela à velocidade instantânea, responsável por mudar o módulo (valor) da velocidade escalar; sua magnitude é \,a_{t}=\dfrac{d v}{d t}\,, onde \,v\, é o módulo da velocidade. O vetor tangencial aponta no sentido do aumento de velocidade (mesmo sentido da velocidade se estiver acelerando) ou no sentido oposto se estiver reduzindo.
  • componente normal ou centrípeta \,\vec a_{c}\,: perpendicular à velocidade, apontando para o centro da curva, responsável por mudar a direção da velocidade; sua magnitude, para movimento circular, é dada por \,a_{c}=\dfrac{v^{2}}{r}\,.\n
    Explicando as letras: \,v\, é a velocidade escalar (módulo), \,r\, é o raio da trajetória, \,\omega\, é a velocidade angular (rad/s) e \,\hat r\, será o vetor unitário radial que aponta para fora do centro (logo a aceleração centrípeta, que aponta para o centro, tem sinal negativo se escrevermos em função de \,\hat r\,).

Passo 3

Aceleração tangencial \,\vec a_{t}\, no MCU (passo a passo):\n
  • Por definição, a componente tangencial tem magnitude \,a_{t}=\dfrac{dv}{dt}\,, pois mede a taxa de variação do módulo da velocidade.\n
  • No enunciado foi dito que o movimento é circular com velocidade escalar constante \,v_{0}\,. Isso significa que \,v(t)=v_{0} para todo \,t, logo \,\dfrac{dv}{dt}=0\,.\n
  • Portanto, a componente tangencial é nula. Em forma vetorial:
\vec a_{t}=\vec 0.
Explicação extra: isso quer dizer que não há aceleração que aumente ou diminua o módulo da velocidade — só muda a direção da velocidade.

Passo 4

Aceleração centrípeta \,\vec a_{c}\, no MCU (derivação e interpretação):\n
  • Para movimento circular com velocidade escalar \,v_{0}\, e raio \,r\,, a magnitude da aceleração normal (centrípeta) vale
a_{c}=\dfrac{v_{0}^{2}}{r}.
Aqui \,v_{0}^{2}\, é o quadrado do módulo da velocidade e \,r\, o raio.\n
  • Vetorialmente, se \,\hat r\, é o vetor unitário radial apontando para fora do centro, então a aceleração centrípeta (que aponta para o centro) é
\vec a_{c}=-\dfrac{v_{0}^{2}}{r}\,\hat r.
Observação intuitiva: quanto maior a velocidade, maior a aceleração centrípeta necessária para manter a curva; quanto maior o raio, menor a aceleração necessária para a mesma velocidade.

Passo 5

Módulo da aceleração total |\vec a| e relação com \,\omega\,:\n
  • Em movimento geral, |\vec a|=\sqrt{a_{t}^{2}+a_{c}^{2}} porque as componentes são perpendiculares.\n
  • No nosso caso, \,a_{t}=0\, (Passo 3). Assim
|\vec a|=a_{c}=\dfrac{v_{0}^{2}}{r}.
  • Agora usando \,v_{0}=\omega r\,, substituímos:
|\vec a|=\dfrac{(\omega r)^{2}}{r}=\omega^{2}r.
Portanto temos as duas formas equivalentes:
|\vec a|=\dfrac{v_{0}^{2}}{r}=\omega^{2}r.
Explicação das variáveis: \,v_{0} em \text{m/s}, \,r em \text{m}, \,\omega em \text{rad/s}; cada expressão dá \text{m/s}^{2} como unidade de aceleração.

Passo 6

Parte (c): valores para \,t=\mathbf{3}\\ \text{s} e \,r=\mathbf{5}\\ \text{m}, mantendo \,v_{0} simbólico e verificando dependência de \,t:\n
  • Como visto, \vec a_{t}=\vec 0 independentemente de t e de r (desde que a velocidade escalar seja constante). Logo para \,t=3\\ \text{s} e \,r=5\\ \text{m} temos
\vec a_{t}=\vec 0.
  • A aceleração centrípeta em magnitude é \,a_{c}=\dfrac{v_{0}^{2}}{r}. Com \,r=5\\ \text{m} isso fica
a_{c}=\dfrac{v_{0}^{2}}{5}\qquad\text{(em }\text{m/s}^{2}\text{)}.
Vetorialmente:
\vec a_{c}=-\dfrac{v_{0}^{2}}{5}\,\hat r.
  • Dependência de \,t: os módulos a_{t} e a_{c} não dependem de t no MCU (são constantes). Observação final: embora os módulos sejam constantes, a direção de \vec a_{c} muda com o tempo porque \hat r gira junto com a posição ao longo da trajetória.

Resposta

(a) \vec a_{t}=\vec 0,\qquad \vec a_{c}=-\dfrac{v_{0}^{2}}{r}\,\hat r.\n
(b) |\vec a|=\dfrac{v_{0}^{2}}{r}=\omega^{2}r usando \,v_{0}=\omega r.\n
(c) \vec a_{t}=\vec 0,\qquad \vec a_{c}=-\dfrac{v_{0}^{2}}{5}\,\hat r (com r=5\\ \text{m}); os módulos não dependem de t no MCU.

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