Um corpo está se movendo em linha reta com posição .
Em que instante o corpo está parado? Determine a posição e a aceleração nesse instante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de um corpo em linha reta, onde a posição desse corpo é dada pela função no intervalo . Nosso objetivo é descobrir em que momento o corpo para, ou seja, quando sua velocidade é zero. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, para encontrar quando o corpo está parado, precisamos calcular e resolver .
Passo 3
Vamos derivar a função . Para isso, usamos a regra da cadeia. A função pode ser reescrita como .
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia:
Aqui, derivamos a parte externa para obter e multiplicamos pela derivada interna .
Passo 5
Agora, para encontrar quando o corpo está parado, igualamos a velocidade a zero:
Isso ocorre quando ou .
Passo 6
Resolvendo :
Verificamos se está no intervalo . Sim, está.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a posição nesse instante:
Passo 8
Finalmente, vamos calcular a aceleração, que é a derivada da velocidade, ou seja, a segunda derivada da posição . A partir da derivada , temos:
Aplicando a regra do produto e simplificando, encontramos .
Resposta
O corpo está parado no instante segundos. Nesse momento, a posição do corpo é aproximadamente unidades, e a aceleração é de aproximadamente unidades/s².