Um corpo em movimento tem sua posição descrita por z(t)=t^3-6 t^2+9 t em metros.
Qual a aceleração media no interval de t=1 s a t=4 s ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição de um corpo em movimento dada pela função $ z(t) = t^{3} - 6t^{2} + 9t $ em metros. O que a gente precisa encontrar é a aceleração média desse corpo no intervalo de tempo entre $ t = 1 $ segundo e $ t = 4 $ segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, que estuda o movimento dos corpos, e vamos precisar entender como calcular a velocidade e a aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar a função $ z(t) $ para encontrar a função da velocidade $ v(t) $.
A posição é:
z(t)
Derivando em relação a $ t $:
v(t)

Passo 3

Agora que temos a função da velocidade, vamos calcular a velocidade nos instantes de $ t = 1 $ segundo e $ t = 4 $ segundos.
Para $ t = 1 $:
t = 1
Para $ t = 4 $:
t = 4

Passo 4

A aceleração média ($ a_{m} $) é a variação da velocidade dividida pela variação do tempo. A fórmula é:
am
Onde:
  • $ v(t_{f}) $ é a velocidade no tempo final ($ t_{f} = 4 $ s)
  • $ v(t_{i}) $ é a velocidade no tempo inicial ($ t_{i} = 1 $ s)
Substituindo os valores que encontramos:
am = v(tf) - v(ti)tf - ti

Resposta

A aceleração média no intervalo de $ t = 1 $ s a $ t = 4 $ s é de 3 metros por segundo ao quadrado ($ 3 , m/s^{2} $).

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