Um corpo em movimento tem sua posição descrita por
em metros.
Qual a aceleração media no interval de
a
?
Qual a aceleração media no interval de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição de um corpo em movimento dada pela função $ z(t) = t^{3} - 6t^{2} + 9t $ em metros. O que a gente precisa encontrar é a aceleração média desse corpo no intervalo de tempo entre $ t = 1 $ segundo e $ t = 4 $ segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, que estuda o movimento dos corpos, e vamos precisar entender como calcular a velocidade e a aceleração a partir da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar a função $ z(t) $ para encontrar a função da velocidade $ v(t) $.
A posição é:
Derivando em relação a $ t $:
Passo 3
Agora que temos a função da velocidade, vamos calcular a velocidade nos instantes de $ t = 1 $ segundo e $ t = 4 $ segundos.
Para $ t = 1 $:
Para $ t = 4 $:
Passo 4
A aceleração média ($ a_{m} $) é a variação da velocidade dividida pela variação do tempo. A fórmula é:
Onde:
- $ v(t_{f}) $ é a velocidade no tempo final ($ t_{f} = 4 $ s)
- $ v(t_{i}) $ é a velocidade no tempo inicial ($ t_{i} = 1 $ s)
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A aceleração média no intervalo de $ t = 1 $ s a $ t = 4 $ s é de 3 metros por segundo ao quadrado ($ 3 , m/s^{2} $).