A posição de um objeto em movimento ao longo de uma linha reta é dada por $\mathrm{x}(\mathrm{t})=5 \mathrm{t}^{2} $ x(t)=5 t^2 metros, onde 3 t+2 está em segundos.
Qual é a velocidade instantânea no instante t ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a posição de um objeto em movimento ao longo de uma linha reta dada pela função , onde é o tempo em segundos. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade instantânea desse objeto no exato momento em que segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a velocidade instantânea é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matemáticamente, isso significa que precisamos calcular a derivada da função posição em relação a . A derivada nos dá a inclinação da curva da posição no ponto específico, que é justamente a velocidade naquele instante.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de dxdt = ddt(5t^2) + ddt(3t) + ddt(2) . Aplicando as regras básicas de derivação:
ddt(5t^2) = 10t
Calculando cada termo separadamente:
ddt(3t) = 3
ddt(2) = 0
v(t) = 10t + 3
Então, a velocidade é:

Passo 4

Agora que temos a expressão para a velocidade em função do tempo, basta substituir v(2) = 10(2) + 3 = 20 + 3 = 23 metros por segundo na equação para encontrar a velocidade instantânea nesse instante.

Resposta

A velocidade instantânea no instante segundos é de metros por segundo.

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