Um corpo oscila com movimento harmônico simples de acordo com a equação (unidades no SI):
x(t)=(8,0) \cos [(2 \pi) \cdot t+(\pi / 4)]
Em t=3,0 s, qual é o deslocamento?

Passo 1

O enunciado dá o movimento harmônico simples
x(t)=(8,0)\cos\big[(2\pi)\cdot t+(\pi/4)\big]
e pergunta o deslocamento em \,t=3,0\\ \text{s}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A=8,0\\ \text{m} \quad(\text{amplitude}),
\omega=2\pi\\ \text{rad/s} \quad(\text{velocidade angular}),
\varphi=\pi/4\\ \text{rad} \quad(\text{fase inicial}),
t=3,0\\ \text{s}.
O que devemos encontrar: o valor de x(3,0\\ \text{s}).

Passo 2

Rápida revisão do modelo e dos símbolos (pra gente ficar amigo da fórmula):
A forma geral do movimento harmônico simples usada aqui é
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • \,A é a amplitude (o deslocamento máximo, em metros);
  • \,\omega é a velocidade angular (em rad/s), relacionada ao período T por \,T=\dfrac{2\pi}{\omega};
  • \,\varphi é a fase inicial (em radianos), que desloca a função no tempo;
  • \,t é o tempo (em segundos) e x(t) é o deslocamento (em metros).
Exemplo rápido para fixar: se \,A=5 e \omega=\pi, então a cada \,T=2 s a função repete, porque T=2\pi/\omega=2\pi/\pi=2.

Passo 3

Vamos avaliar o argumento do cosseno em t=3,0\\ \text{s}:
\omega t+\varphi=(2\pi)\cdot 3,0 + \frac{\pi}{4}=6\pi+\frac{\pi}{4}.
Usamos agora a periodicidade do cosseno: para todo inteiro k vale
\cos(\theta+2k\pi)=\cos\theta.
Como 6\pi=3\cdot 2\pi, podemos subtrair os 3\cdot 2\pi sem alterar o cosseno:
\cos\!\big(6\pi+\tfrac{\pi}{4}\big)=\cos\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big).

Passo 4

Calculamos \cos(\pi/4). É um valor trigonométrico padrão:
\cos\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Logo o deslocamento é
x(3,0)=A\cos\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=8,0\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}.
Se você prefere o valor numérico aproximado:
4\sqrt{2}\approx 5,657\\ \text{m}.

Passo 5

Recapitulando em linguagem de prova: identifiquei A,\omega,\varphi, calculei o argumento em t=3,0\\ \text{s}, usei a periodicidade do cosseno para reduzir a conta e em seguida usei o valor conhecido \cos(\pi/4)=\sqrt{2}/2. Resultado final obtido de forma exata e aproximada.

Resposta

x(3,0\\ \text{s})=4\sqrt{2}\\ \text{m}\approx 5,657\\ \text{m}

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