Um corpo percorre uma trajetória retilínea de acordo com a lei x=16 t-6 t^2, onde x é medido em metros e t em segundos. Resolva:
Em quais instantes a aceleração é nula? Representar, utilizando um só par de eixos, x versus t, v versus t, e a versus t;

Passo 1

Beleza, você tem um corpo que se move em linha reta seguindo a equação x = 16 t - 6 t^2, onde x está em metros e t em segundos. Vamos resolver duas coisas aqui: primeiro, descobrir em que momentos a aceleração é zero, e segundo, representar os gráficos de posição, velocidade e aceleração em um único conjunto de eixos. Para isso, vamos precisar usar derivadas, que são ferramentas do cálculo para encontrar taxas de variação, como velocidade e aceleração.

Passo 2

Vamos começar encontrando a velocidade do corpo. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a primeira derivada de x em relação a t.
Dada a equação da posição:
x(t) = 16 t - 6 t^2
A derivada de x em relação a t é:
v(t) = dxdt = 16 - 12 t
Então, a velocidade v(t) é igual a 16 - 12 t metros por segundo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a segunda derivada de x ou a primeira derivada de v(t).
Tomando a derivada de v(t):
a(t) = dvdt = -12
Então, a aceleração a(t) é constante e igual a -12 metros por segundo ao quadrado.

Passo 4

Para encontrar em que instantes a aceleração é nula, vamos resolver a equação a(t) = 0.
Sabemos que:
a(t) = -12
Igualando a zero:
-12 = 0
Essa equação não tem solução, o que significa que a aceleração nunca é nula. O corpo sempre está acelerando de forma constante.

Passo 5

Agora, vamos falar sobre como representar os gráficos de x versus t, v versus t e a versus t num único par de eixos. Isso significa que vamos plotar as três funções no mesmo gráfico para visualizar como posição, velocidade e aceleração se comportam ao longo do tempo.
  • Gráfico de x(t): É uma parábola que abre para baixo, já que o coeficiente de t^2 é negativo.
  • Gráfico de v(t): É uma linha reta com declive negativo, indicando que a velocidade está diminuindo com o tempo.
  • Gráfico de a(t): É uma linha horizontal constante, já que a aceleração é constante.
Ao sobrepor esses gráficos, conseguimos ver como a posição muda de forma não linear, enquanto a velocidade diminui de forma linear e a aceleração permanece constante.

Resposta

A aceleração nunca é nula, pois a(t) = -12, m/s^2 para todo instante t. Além disso, os gráficos de x versus t, v versus t e a versus t podem ser representados juntos em um único par de eixos, mostrando uma parábola para a posição, uma linha reta decrescente para a velocidade e uma linha horizontal para a aceleração.

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