Um corpo percorre uma trajetória retilínea de acordo com a lei
, onde
é medido em metros e
em segundos. Resolva:
Em quais instantes a aceleração é nula? Representar, utilizando um só par de eixos,
versus
versus
, e
versus
;
Em quais instantes a aceleração é nula? Representar, utilizando um só par de eixos,
Passo 1
Beleza, você tem um corpo que se move em linha reta seguindo a equação
, onde
está em metros e
em segundos. Vamos resolver duas coisas aqui: primeiro, descobrir em que momentos a aceleração é zero, e segundo, representar os gráficos de posição, velocidade e aceleração em um único conjunto de eixos. Para isso, vamos precisar usar derivadas, que são ferramentas do cálculo para encontrar taxas de variação, como velocidade e aceleração.
Passo 2
Vamos começar encontrando a velocidade do corpo. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a primeira derivada de
em relação a
.
Dada a equação da posição:
A derivada de
em relação a
é:
Então, a velocidade
é igual a
metros por segundo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a segunda derivada de
ou a primeira derivada de
.
Tomando a derivada de
:
Então, a aceleração
é constante e igual a
metros por segundo ao quadrado.
Passo 4
Para encontrar em que instantes a aceleração é nula, vamos resolver a equação
.
Sabemos que:
Igualando a zero:
Essa equação não tem solução, o que significa que a aceleração nunca é nula. O corpo sempre está acelerando de forma constante.
Passo 5
Agora, vamos falar sobre como representar os gráficos de
versus
,
versus
e
versus
num único par de eixos. Isso significa que vamos plotar as três funções no mesmo gráfico para visualizar como posição, velocidade e aceleração se comportam ao longo do tempo.
- Gráfico de
: É uma parábola que abre para baixo, já que o coeficiente de é negativo. - Gráfico de
: É uma linha reta com declive negativo, indicando que a velocidade está diminuindo com o tempo. - Gráfico de
: É uma linha horizontal constante, já que a aceleração é constante.
Ao sobrepor esses gráficos, conseguimos ver como a posição muda de forma não linear, enquanto a velocidade diminui de forma linear e a aceleração permanece constante.
Resposta
A aceleração nunca é nula, pois
para todo instante
. Além disso, os gráficos de
versus
,
versus
e
versus
podem ser representados juntos em um único par de eixos, mostrando uma parábola para a posição, uma linha reta decrescente para a velocidade e uma linha horizontal para a aceleração.