Um corpo percorre uma trajetória retilínea de acordo com a lei
, onde
é medido em metros e
em segundos. Resolva:
Obtenha a expressão geral da aceleração média para o intervalo de tempo
Obtenha a expressão geral da aceleração média para o intervalo de tempo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento de um corpo que segue uma trajetória retilínea descrita pela equação $ x = 16t - 6t^2 $, onde $ x $ é a posição em metros e $ t $ é o tempo em segundos. Nosso objetivo aqui é encontrar a expressão geral da aceleração média durante um intervalo de tempo que vai de $ t_0 $ até $ t_0 + \Delta t $. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a velocidade e a aceleração a partir da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se temos $ x(t) $, a velocidade $ v(t) $ é:
Vamos derivar a equação dada para encontrar a velocidade.
Passo 3
A posição é $ x = 16t - 6t^2 $. Derivando em relação ao tempo $ t $:
Então, a velocidade do corpo em qualquer instante $ t $ é $ v(t) = 16 - 12t $.
Passo 4
Agora, a aceleração média durante o intervalo $ t_0 $ a $ t_0 + \Delta t $ é dada por:
Vamos calcular $ v(t_0) $ e $ v(t_0 + \Delta t) $ usando a expressão da velocidade que encontramos.
Passo 5
Calculando $ v(t_0) $:
E $ v(t_0 + \Delta t) $:
Passo 6
Substituindo esses valores na fórmula da aceleração média:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 7
Simplificando o numerador:
Então, a aceleração média fica:
Resposta
A aceleração média durante o intervalo de tempo $ t_0 $ a $ t_0 + \Delta t $ é $ \boxed{-12\ m/s^2} $.