Um corpo percorre uma trajetória retilínea de acordo com a lei x=16 t-6 t^2, onde x é medido em metros e t em segundos. Resolva:
Em quais instantes a posição e a velocidade do corpo são nulas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala que um corpo se move numa linha reta seguindo a lei $ x = 16t - 6t^{2} $, onde $ x $ está em metros e $ t $ em segundos. Queremos descobrir em que momentos a posição ($ x x = 16t - 6t^2 v $) desse corpo são iguais a zero. Para isso, vamos precisar entender de movimento retilíneo e derivadas básicas para encontrar a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os instantes em que a posição é zero. Isso significa resolver a equação $ x = 0 $:
x = 0

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos fatorar $ t $:
t
Isso nos dá duas soluções:
0 = t(16 - 6t)

Passo 4

Resolvendo $ 16 - 6t = 0 $:
16 - 6t = 0
Então, a posição é zero nos instantes $ t = 0 $ s e $ t = \frac{8}{3} $ s.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a velocidade do corpo. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivando $ x = 16t - 6t^{2} $:
x = 16t - 6t^2

Passo 6

Queremos saber quando a velocidade é zero. Vamos resolver $ v(t) = 0 $:
v(t) = 0
0 = 16 - 12t

Resposta

A posição do corpo é nula nos instantes $ t = 0 $ segundos e $ t = \frac{8}{3} $ segundos. A velocidade do corpo é nula no instante $ t = \frac{4}{3} $ segundos.

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