Os parâmetros de resistência de uma argila arenosa saturada são a’ =100 \mathrm{kPa} e \alpha^{\prime}=30^{\circ} no diagrama p^{\prime} x \quad q de Lambe. Um ensaio \overline{\mathrm{CU}} realizado neste material apresentou uma tensão desviadora de 600 kPa na ruptura, sendo que a tensão confinante de 350 kPa permaneceu constante durante todo o ensaio. Pede-se:
a) determinar as tensões principais efetivas no instante da ruptura;
b) o parâmetro A no instante da ruptura. \quad \mathrm{A}=0,5
\sigma_{3 \text { ruptura }}^{\prime}=50 \mathrm{kPa} \text { e } \sigma_{\text {1ruptura }}^{\prime}=650 \mathrm{kPa}

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede o que segue:
  • Dados do material (no diagrama p' × q de Lambe): a' = 100\\ \mathrm{kPa},\qquad \alpha' = 30^\circ.
  • Ensaio \overline{\mathrm{CU}} (triaxial não drenado com medida de poro) que apresentou: q_\text{ruptura} = 600\\ \mathrm{kPa}sendo que a tensão confinante (total) permaneceu constante e vale \sigma_3\\ (\text{total}) = 350\\ \mathrm{kPa}.
  • Pede-se:
    (a) determinar as tensões principais efetivas no instante da ruptura;
    (b) determinar o parâmetro A no instante da ruptura.
Informações relevantes extras que temos (relacionamentos usuais em ensaios triaxiais):
  • A tensão desviadora (deviator) é q = \sigma_1 - \sigma_3(a diferença entre as maiores e menores tensões principais, aqui os valores podem ser totais ou efetivos; porém para a diferença isso é igual tanto em tensão total quanto em tensão efetiva porque a pressão de poro se cancela).
  • Definição de p' (pressão média efetiva) em um teste triaxial: p' = \frac{\sigma_1' + 2\sigma_3'}{3}.
  • No diagrama p'- q de Lambe, a reta de ruptura é dada (forma linear adotada aqui) por q = a' + p'\,\tan\alpha'.Essa relação conecta q e p' no instante da ruptura no espaço de tensões efetivas.
Não começo a resolver ainda; apenas listei o que o enunciado dá e o que é pedido, além das fórmulas que vamos usar.

Passo 2

Explicar didaticamente as fórmulas principais que vamos usar (aulas rápidas):
  1. Relação entre as tensões principais efetivas e p' e q.
  • O parâmetro q (deviador) mede quanto a tensão axial \sigma_1 excede a tensão confinante \sigma_3. Em termos de tensões efetivas:
    q = \sigma_1' - \sigma_3'.
    Aqui \sigma_1' e \sigma_3' são as tensões principais efetivas no instante da ruptura.
  • O parâmetro p' é a média ponderada das tensões efetivas (no triaxial dá peso 1 para \sigma_1' e 2 para \sigma_3'):
    p' = \frac{\sigma_1' + 2\sigma_3'}{3}.
    Intuição: p' é a “pressão efetiva média” que age sobre o solo, e q é a prontidão de cisalhamento (diferença de tensões).
  1. Envoltória de ruptura no diagrama p'- q (Lambe).
  • Na prática, muitos autores linearizam a superfície de ruptura no plano p'- q como uma reta: q = a' + p'\,\tan\alpha',onde a' é o intercepto em q e \alpha' é o ângulo que define a inclinação da reta. Assim, conhecendo a' e \alpha' podemos relacionar q e p' no ponto de ruptura.
  1. Estratégia para encontrar \sigma_1' e \sigma_3':
  • Usaremos as três equações:
    (i) q = \sigma_1' - \sigma_3' (já conhecemos q),
    (ii) p' = \dfrac{\sigma_1' + 2\sigma_3'}{3},
    (iii) relação de ruptura q = a' + p'\tan\alpha'.
  • A partir de (iii) obtemos p', e então resolvemos (i) e (ii) para \sigma_1' e \sigma_3'. Vou mostrar cada passo com contas explícitas.

Passo 3

Calcular p' no instante da ruptura usando a equação de Lambe:
q = a' + p'\tan\alpha'.
Isolando p':
p' = \frac{q - a'}{\tan\alpha'}.
Agora substituímos os valores dados: q=600\\ \mathrm{kPa}, a'=100\\ \mathrm{kPa} e \alpha'=30^\circ. Primeiro calculamos \tan 30^\circ. Lembra: \tan 30^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx 0{,}577350269.
Logo,
p' = \frac{600 - 100}{\tan 30^\circ} = \frac{500}{0{,}577350269}\approx 866{,}025\\ \mathrm{kPa}.
Interpretação didática: esse cálculo nos dá a pressão efetiva média que, segundo a reta de ruptura fornecida (com esses a' e \alpha'), corresponde ao ponto em que q=600\\ \mathrm{kPa}. Note que o valor ficou bastante grande; isso será discutido depois.

Passo 4

A partir de [p’) e q calculamos \sigma_3' e \sigma_1'. Use as fórmulas (mostro a álgebra passo a passo).
Temos as duas equações:
\begin{cases} q = \sigma_1' - \sigma_3' \\\ p' = \dfrac{\sigma_1' + 2\sigma_3'}{3}. \end{cases}
Da primeira:
\sigma_1' = q + \sigma_3'.
Substituindo na segunda:
p' = \frac{(q + \sigma_3') + 2\sigma_3'}{3} = \frac{q + 3\sigma_3'}{3}.
Multiplicando por 3:
3p' = q + 3\sigma_3'.
Isolando (\sigma_3’]:
3\sigma_3' = 3p' - q \quad\Rightarrow\quad \sigma_3' = p' - \frac{q}{3}.
E então \sigma_1' = q + \sigma_3' = q + p' - \frac{q}{3} = p' + \frac{2q}{3}.
Agora substituímos p'\approx 866{,}025\\ \mathrm{kPa} e q=600\\ \mathrm{kPa}.
Calcule \sigma_3':
\sigma_3' = 866{,}025 - \frac{600}{3} = 866{,}025 - 200 = 666{,}025\\ \mathrm{kPa}.
Calcule \sigma_1':
\sigma_1' = 866{,}025 + \frac{2\cdot 600}{3} = 866{,}025 + 400 = 1\,266{,}025\\ \mathrm{kPa}.
Portanto, pelo uso direto da reta de Lambe com os valores fornecidos, chegaríamos a:
\sigma_3' \approx 666{,}025\\ \mathrm{kPa},\qquad \sigma_1' \approx 1\,266{,}025\\ \mathrm{kPa}.
(Observação: deixei muitas casas decimais para mostrar o procedimento; em prova você pode arredondar, por exemplo \sigma_3'\approx 666{,}0\\ \mathrm{kPa}, \sigma_1'\approx 1266{,}0\\ \mathrm{kPa}.)

Passo 5

Interpretação física e verificação de consistência (muito importante — aqui eu explico o que verificar na prova):
  • No ensaio triaxial \overline{\mathrm{CU}} foi informado que a tensão confinante aplicada (total) permaneceu constante e valia \sigma_3\\ (\text{total}) = 350\\ \mathrm{kPa}. A relação entre tensões totais e efetivas é
    \sigma_i' = \sigma_i - u,
    onde u é a pressão de poro na amostra no instante considerado.
  • Se as tensões efetivas na ruptura fossem \sigma_3' \approx 666\\ \mathrm{kPa} e \sigma_1' \approx 1{,}266\\ \mathrm{kPa}, então a pressão de poro exigida para que as correspondentes tensões totais sejam compatíveis com o ensaio seria
    u = \sigma_3 - \sigma_3' = 350 - 666{,}025 \approx -316{,}025\\ \mathrm{kPa},
    ou seja, uma pressão de poro negativa muito grande (tensão de poro em sucção de centenas de kPa). Em solos saturados é fisicamente invulgar (e praticamente impossível num ensaio triaxial típico) obter uma sucção tão grande sem que o solo deixe de estar saturado; portanto esses valores de \sigma_3' e \sigma_1' são incompatíveis com a informação de que a tensão confinante total foi 350\\ \mathrm{kPa}, salvo situações muito especiais.
  • Conclusão didática: há uma incompatibilidade numérica entre os três conjuntos de dados se usamos literalmente a fórmula q = a' + p'\tan\alpha' com \alpha'=30^\circ e a'=100\\ \mathrm{kPa}. Ou seja, ou os parâmetros a' e \alpha' não estão sendo interpretados conforme a forma linear simples assumida acima, ou houve algum equívoco na transcrição de \alpha', ou as grandezas dadas (por exemplo a tensão confinante) referem-se a valores efetivos e não a totais, etc. Em prova, sempre verifique a coerência final com as tensões totais aplicadas.

Passo 6

Agora mostro como obter os valores que você indicou ( \sigma_3'=50\\ \mathrm{kPa} e \sigma_1'=650\\ \mathrm{kPa}) e A=0{,}5, para que você entenda a lógica por trás desses números e reconheça quando aparecem numa solução (útil para conferir respostas em provas):
  • Primeiro verifique se esses valores satisfazem a equação do deviador:
    q = \sigma_1' - \sigma_3' = 650 - 50 = 600\\ \mathrm{kPa},
    que é exatamente o q do enunciado — portanto aí está coerente.
  • Calcule p' correspondente a esses \sigma':
    p' = \frac{650 + 2\cdot 50}{3} = \frac{650 + 100}{3} = \frac{750}{3} = 250\\ \mathrm{kPa}.
  • Se esses valores de \sigma' e p' estiverem corretos, então a reta de ruptura teria de satisfazer
    q = a' + p'\tan\alpha' \quad\Rightarrow\quad 600 = 100 + 250\tan\alpha'.
    Daí,
    \tan\alpha' = \frac{600-100}{250} = \frac{500}{250} = 2,
    o que implica
    \alpha' = \arctan 2 \approx 63{,}435^\circ.
    Ou seja, para que p'=250 e q=600 sejam compatibles com a reta q=a' + p'\tan\alpha' com a'=100, o ângulo deveria ser \alpha'\approx63{,}435^\circ, não 30^\circ. Portanto os valores \sigma_3'=50\\ \mathrm{kPa} e \sigma_1'=650\\ \mathrm{kPa} são auto-consistentes com a'=100 apenas se \alpha' fosse aproximadamente 63{,}435^\circ.
  • Sobre o parâmetro A: você indicou A=0{,}5. Há várias definições possíveis de um parâmetro rotulado por A em geotecnia (por ex. relações adimensionais ligadas a pressões e diferenças de tensão). Se considerarmos que A seja a proporção entre o aumento da pressão de poro no ensaio e a tensão confinante total aplicada até então, poderíamos definir, por exemplo,
    A = \frac{u}{\sigma_3(\text{total})}.
    Se a tensão de poro na ruptura vale u = \sigma_3(\text{total}) - \sigma_3' = 350 - 50 = 300\\ \mathrm{kPa}, então
    A = \frac{300}{350} \approx 0{,}857,
    que não é 0{,}5. Logo essa definição de A não bate com 0{,}5. Assim, para aceitar A=0{,}5 seria necessário saber a definição exata de A usada no enunciado (por exemplo, A às vezes é usado para indicadores adimensionais distintos). Sem essa definição explícita não conseguimos confirmar A=0{,}5 numericamente.
  • Resumindo: os valores \sigma_3'=50\\ \mathrm{kPa} e \sigma_1'=650\\ \mathrm{kPa} são consistentes entre si e com q=600\\ \mathrm{kPa} e produzem p'=250\\ \mathrm{kPa}. Contudo, para serem consistentes com a reta de Lambe dada por a'=100 e \alpha'=30^\circ seria necessário que \alpha' valesse \approx63{,}435^\circ (ou que a forma da reta fosse diferente). Além disso, o valor A=0{,}5 não pode ser verificado sem a definição precisa de A usada pelo enunciado.

Resposta

\sigma_{3\ ruptura}’ \approx 666{,}025\ \mathrm{kPa},\ \sigma_{1\ ruptura}’ \approx 1,266{,}025\ \mathrm{kPa}
A = não determinável sem definição; se for o valor fornecido, A = 0{,}5

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