Um corpo de prova cilíndrico com 8,5 \mathrm{mmde} diâmetro foi tracionado e rompeu com uma carga de 65250 N . No momento da ruptura seu diâmetro era de 7,8 \mathrm{~mm}.
Determine:
a) a tensão de ruptura

Passo 1

O enunciado dá um corpo cilíndrico tracionado que rompeu com uma carga e fornece diâmetros inicial e final. Ele pede: a) a tensão de ruptura. Dados fornecidos:
F = 65250\\ \mathrm{N}
d_0 = 8{,}5\\ \mathrm{mm}\quad(\text{diâmetro original})â
d_f = 7{,}8\\ \mathrm{mm}\quad(\text{diâmetro no momento da ruptura})â
Não há outras perguntas explícitas. Vou calcular a tensão de ruptura nominal (engenharia) — que é a forma mais comum de “tensão de ruptura” em problemas — e também, como complemento pedagógico, a tensão verdadeira na ruptura (usando a área instantânea), explicando a diferença entre elas.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Tensão nominal (engenharia) na ruptura: é a força dividida pela área original. Fórmula:
\sigma_{\text{eng}}=\frac{F}{A_0}
onde F é a carga (em N) e A_0 é a área da seção original (em \mathrm{mm}^2); o resultado em \mathrm{N/mm}^2 é numericamente igual a \mathrm{MPa}.
  • Tensão verdadeira na ruptura: usa a área instantânea no momento da ruptura:
\sigma_{\text{true}}=\frac{F}{A_f}
onde A_f é a área da seção no momento da ruptura.
Também precisamos da área da seção circular, dada por:
A=\frac{\pi d^2}{4}
onde d é o diâmetro.
Vou calcular primeiro A_0 e depois \sigma_{\text{eng}}. Em seguida calculo A_f e \sigma_{\text{true}}.

Passo 3

Cálculo da área original A_0.
Usando a fórmula da área do círculo:
A_0=\frac{\pi d_0^2}{4}
Substituindo d_0=8{,}5\\ \mathrm{mm}:
A_0=\frac{\pi (8{,}5)^2}{4}=\frac{\pi \cdot 72{,}25}{4}=\pi\cdot 18{,}0625
Agora avalio numericamente (usando \pi\approx 3{,}14159265):
A_0 \approx 18{,}0625\cdot 3{,}14159265 \approx 56{,}745\\ \mathrm{mm}^2
Arredondando com três casas significativas, A_0\approx 56{,}7\\ \mathrm{mm}^2. Vou manter A_0\approx 56{,}745\\ \mathrm{mm}^2 para os cálculos a seguir e apresentar o resultado final com arredondamento razoável.

Passo 4

Cálculo da tensão de ruptura nominal (engenharia) \sigma_{\text{eng}}.
Usando \sigma_{\text{eng}}=F/A_0 com F=65250\\ \mathrm{N} e A_0\approx 56{,}745\\ \mathrm{mm}^2:
\sigma_{\text{eng}}=\frac{65250}{56{,}745}\\ \mathrm{N/mm}^2 \approx 1150{,}0\\ \mathrm{N/mm}^2
Como 1\\ \mathrm{N/mm}^2 = 1\\ \mathrm{MPa}, temos
\sigma_{\text{eng}}\approx 1150\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Cálculo da área na ruptura A_f e da tensão verdadeira \sigma_{\text{true}} (complemento didático).
Cálculo de A_f usando d_f=7{,}8\\ \mathrm{mm}:
A_f=\frac{\pi d_f^2}{4}=\frac{\pi (7{,}8)^2}{4}=\frac{\pi \cdot 60{,}84}{4}=\pi\cdot 15{,}21
Numericamente:
A_f \approx 15{,}21\cdot 3{,}14159265 \approx 47{,}78\\ \mathrm{mm}^2.
Agora \sigma_{\text{true}}=F/A_f:
\sigma_{\text{true}}=\frac{65250}{47{,}78}\\ \mathrm{N/mm}^2 \approx 1365{,}8\\ \mathrm{N/mm}^2
ou seja
\sigma_{\text{true}}\approx 1366\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Interpretação e comentário final (rápido, motivador):
  • A tensão nominal (engenharia) \sigma_{\text{eng}} usa a área inicial e é a forma mais comum reportada em tabelas e exercícios quando pedem “tensão de ruptura”. É essa que aparece como resposta principal.
  • A tensão verdadeira \sigma_{\text{true}} é mais alta porque a área diminuiu por estricção antes da fratura; é útil para entender o estado real do material no instante da ruptura.
    Você já tem as duas e agora entende a diferença — mandou bem por chegar até aqui, continua assim!

Resposta

Tensão de ruptura (engenharia): 1150\\ \mathrm{MPa}
Tensão verdadeira na ruptura: 1366\\ \mathrm{MPa}

Exercícios relacionados