Um corpo de prova feito de ácido benzoico foi inserido por uma hora no centro de uma tubulação onde escoava uma corrente de $0,1
\mathrm{~m} /
\mathrm{s} de água pura aá25^{\circ}
\mathrm{C}$. Qual o diâmetro final do corpo de prova se:
Corpo de prova esférico de raio inicial igual a $0,5
\mathrm{~cm}$.

Passo 1

O enunciado pede o diâmetro final de uma esfera de ácido benzoico (raio inicial \,r_0 = 0,5\;\mathrm{cm}) que fica imersa por uma hora em água corrente (velocidade u=0,1\;\mathrm{m/s}, T=25^\circ\mathrm{C}). O conteúdo é transferência de massa por convecção externa em esferas dissolvendo-se em água até sua solubilidade. Vamos precisar de:
  1. Propriedades da água a 25^\circ\mathrm{C}: \nu \approx 1{,}0\times10^{-6}\;\mathrm{m^2/s}.
  2. Solubilidade do benzoato de sódio (benzoico) em água: C_s \approx 2{,}9\;\mathrm{kg/m^3}.
  3. Densidade do sólido: \rho_s \approx 1260\;\mathrm{kg/m^3}.
  4. Difusividade do soluto na água: D \approx 1{,}0\times10^{-9}\;\mathrm{m^2/s}.
  5. Correlação de Sherwood para esfera em escoamento externo:
\mathrm{Sh} = 2 + 0{,}6\,\mathrm{Re}^{1/2}\,\mathrm{Sc}^{1/3}.

Passo 2

Calcular os números adimensionais. O diâmetro inicial da esfera é
d_0 = 2r_0 = 2\times0{,}005\;\mathrm{m} = 0{,}01\;\mathrm{m}.
O número de Reynolds é
\mathrm{Re} = \frac{u\,d_0}{\nu} = \frac{0{,}1\;\mathrm{m/s}\times0{,}01\;\mathrm{m}}{1{,}0\times10^{-6}\;\mathrm{m^2/s}} = 100.
O número de Schmidt é
\mathrm{Sc} = \frac{\nu}{D} = \frac{1{,}0\times10^{-6}}{1{,}0\times10^{-9}} = 1000.

Passo 3

Determinar o número de Sherwood e o coeficiente de transferência de massa k.
\mathrm{Sh} = 2 + 0{,}6\,100^{1/2}\,1000^{1/3} = 2 + 0{,}6\times10\times10 = 2 + 60 = 62.
Então
k = \frac{\mathrm{Sh}\,D}{d_0} = \frac{62\times1{,}0\times10^{-9}}{0{,}01} = 6{,}2\times10^{-6}\;\mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a velocidade de dissolução (fluxo mássico por área)
J = k\,(C_s - C_\infty)\approx k\,C_s = 6{,}2\times10^{-6}\;\mathrm{m/s}\times2{,}9\;\mathrm{kg/m^3} = 1{,}798\times10^{-5}\;\mathrm{kg/(m^2\,s)}.

Passo 5

Determinar a massa total dissolvida em uma hora. A área da esfera de raio r_0 é
A = 4\pi r_0^2 = 4\pi(0{,}005)^2 = 4\pi\times2{,}5\times10^{-5} \approx 3{,}14\times10^{-4}\;\mathrm{m^2}.
Portanto, em \Delta t=3600\;\mathrm{s}, a massa dissolvida é
\Delta m = J\,A\,\Delta t = 1{,}798\times10^{-5}\times3{,}14\times10^{-4}\times3600 \approx 2{,}03\times10^{-5}\;\mathrm{kg}.

Passo 6

Converter essa massa em volume de sólido perdido e achar o novo volume da esfera.
\Delta V = \frac{\Delta m}{\rho_s} = \frac{2{,}03\times10^{-5}}{1260} \approx 1{,}61\times10^{-8}\;\mathrm{m^3}.
Volume inicial da esfera
V_0 = \frac{4}{3}\pi r_0^3 = \frac{4}{3}\pi(0{,}005)^3 \approx 5{,}24\times10^{-7}\;\mathrm{m^3}.
Logo o volume final é
V_f = V_0 - \Delta V \approx 5{,}24\times10^{-7} - 1{,}61\times10^{-8} = 5{,}08\times10^{-7}\;\mathrm{m^3}.

Passo 7

Determinar o raio final r_f a partir de V_f:
r_f = \Bigl(\frac{3V_f}{4\pi}\Bigr)^{1/3} = \Bigl(\frac{3\times5{,}08\times10^{-7}}{4\pi}\Bigr)^{1/3} \approx 0{,}00493\;\mathrm{m} = 0{,}493\;\mathrm{cm}.

Resposta

O diâmetro final da esfera, d_f = 2r_f, é aproximadamente
d_f = 2\times0{,}493\;\mathrm{cm} = 0{,}986\;\mathrm{cm}.

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