5 - Um corpo de prova foi retirado de um lingote de fundição de ferro fundido e será depositado num recipiente com nitrogênio líquido no instante t=0, para a realização de um ensaio mecânico de impacto. Após t minutos, sua temperatura, em graus centígrados, é dada por:
T(t)=5(t+6)^3 e^-t-62-30, (0 <= t <= 10)
Qual a velocidade de redução de sua temperatura após 2 minutos?

Passo 1

O enunciado dá a temperatura do corpo, em graus Celsius, após t minutos por
T(t)=5,(t+6)^3e^-t+62-30, 0<= t<=10
e pede a velocidade de variação de T em t=2. Para isso, vamos calcular a derivada T'(t) usando a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Escrevendo o termo principal como 5cdot u(t) com
u(t)=(t+6)^3e^-t+62,
temos
T'(t)=5,u'(t)
Para achar u'(t), note que é produto de u1(t)=(t+6)^3 e u2(t)=e^-t+62. Logo,
u1'(t)=3(t+6)^2, u2'(t)=e^-t+62cdotl(-tfrac12r)
Pela regra do produto,
u'(t)=u1'(t)u2(t)+u1(t)u2'(t) =3(t+6)^2,e^-t+62 -(t+6)^312,e^-t+62

Passo 3

Fatorando e^-t+62 e (t+6)^2, obtemos
u'(t) =(t+6)^2e^-t+62l[3-tfract+62r]
Portanto
T'(t) =5,(t+6)^2e^-t+62l[3-tfract+62r]

Passo 4

Agora avaliaremos em t=2: temos t+6=8 e
3-tfrac82=3-4=-1,
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T'(2) =5cdot8^2;e^-4,l(-1r) =-320,e^-4

Passo 5

Para um valor aproximado, use e^-4approx0,0183, dando
T'(2)approx -320times0,0183approx -5,86
Isto significa que, aos 2 minutos, a temperatura está caindo a cerca de -5,86 ^circC por minuto.

Resposta

T'(2)=-320,e^-4 (circC/min)approx -5,86 circC/min

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