Encontre o conjunto domínio da função real e suas raízes, se possível:
f(x)=ln (2 x-x^2)

Passo 1

Beleza, o exercício pede duas coisas:
  1. Encontrar o domínio da função real
  2. Encontrar as raízes (valores de x que fazem f(x)=0)
A matéria envolve função logarítmica, domínio (inequação) e resolução de equação quadrática. Vamos precisar lembrar que para ln(y) estar definida tem de valer y>0, e que para achar raízes vamos resolver uma equação quadrática simples.

Passo 2

Queremos o domínio de
f(x)=lnl(2x - x^2r)
Como a função log só existe se o argumento for maior que zero, impomos:
2x - x^2 > 0
Reescrevendo:
-x^2 + 2x > 0 Long<=ftrightarrow x(2 - x) > 0
Essa inequação muda de sinal nos zeros x=0 e x=2. Testando intervalos:
  • Para x<0, x(2-x) é negativo.
  • Para 0<x<2, x>0 e 2-x>0, produto positivo.
  • Para x>2, 2-x<0, produto negativo.
Logo, a parte positiva é 0<x<2.
Portanto o domínio é
boxed(0,2)

Passo 3

Agora achamos as raízes, fazendo f(x)=0:
ln(2x - x^2) = 0
Lembrando que ln(A)=0 quando A=1. Logo:
2x - x^2 = 1 ;Longrightarrow; -x^2 + 2x - 1 = 0 ;Longrightarrow; x^2 - 2x + 1 = 0 ;Longrightarrow; (x - 1)^2 = 0 ;Longrightarrow; x = 1
Por fim, verificamos se x=1 está no domínio (0,2). Está! Então a única raiz é x=1.

Resposta

Domínio: (0,2)
Raízes: x = 1

Exercícios relacionados