(1,0) Determine a divergência e o rotacional do campo vetorial F(x, y, z)=e^y z z i-cos (x z) j+ln (x y) k.

Passo 1

Estamos com o campo vetorial F(x,y,z) = e^yz,i - cos(xz),j + ln(xy),k. O conteúdo é cálculo vetorial em R^3: vamos precisar das definições de divergência e rotacional de um campo F=(F1,F2,F3):
Divergência:
nablacdotF = partial F1partial x + partial F2partial y + partial F3partial z
Rotacional:
nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z F1 & F2 & F3

Passo 2

Para a divergência, calculamos cada parcial:
partial F1partial x = partialpartial x e^yz = 0,
partial F2partial y = partialpartial y[-cos(xz)] = 0,
partial F3partial z = partialpartial z[ln(xy)] = 0
Somando,
nablacdotF = 0 + 0 + 0 = 0

Passo 3

Para o rotacional, aplicamos o determinante:
Componente i:
(nablatimesF)1 = partial F3partial y - partial F2partial z = partialpartial y[ln(xy)] - partialpartial z[-cos(xz)]
Calculando:
partialpartial y[ln(xy)] = 1y,
partialpartial z[-cos(xz)] = -(-sin(xz)cdot x) = xsin(xz)
Logo,
(nablatimesF)1 = 1y - xsin(xz)
Componente j:
(nablatimesF)2 = partial F1partial z - partial F3partial x = partialpartial z[e^yz] - partialpartial x[ln(xy)]
Calculando:
partialpartial z[e^yz] = y,e^yz,
partialpartial x[ln(xy)] = 1x
Logo,
(nablatimesF)2 = y,e^yz - 1x
Componente k:
(nablatimesF)3 = partial F2partial x - partial F1partial y = partialpartial x[-cos(xz)] - partialpartial y[e^yz]
Calculando:
partialpartial x[-cos(xz)] = zsin(xz),
partialpartial y[e^yz] = z,e^yz
Logo,
(nablatimesF)3 = zsin(xz) - z,e^yz

Resposta

Divergência: 0.
Rotacional:
nablatimesF = l(1y - xsin(xz)r)i + l(y,e^yz - 1xr)j + l(zsin(xz) - z,e^yzr)k

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