Encontre o conjunto domínio da função real e suas raízes, se possível:
Passo 1
O exercício pede para a gente achar duas coisas da função
- o domínio (onde a função faz sentido, em ℝ)
- as raízes (os valores de
que fazem ).
Isso envolve teoria de domínio de função com radical, inequações de fração e análise de sinais. Vamos precisar garantir que o radicando fique ≥0 e que o denominador nunca zere.
Passo 2
Pra
ser real, a gente precisa de:
-
- o denominador de
≠ 0
Aqui
então as condições são
Passo 3
Vamos fatorar o numerador para facilitar a análise de sinais:
Então nossa inequação vira
Passo 4
Os pontos em que cada fator zera são
-
(zera ), -
(zera ), -
(zera o denominador, mas aí exclui do domínio).
Dividimos a reta real em intervalos e conferimos o sinal de cada parte:
Intervalo | sinal de
|
sinal de
|
sinal da fração |
---|---|---|---|
|
– | + | – |
|
+ | + | + |
|
+ | – | – |
|
– | – | + |
Passo 5
A inequação
vale quando a fração é positiva ou zero, e sem incluir
. Logo:
- entra o intervalo
(fração >0) - entra o intervalo
(fração >0) - entram também os pontos
e (dão fração =0) - sai
(denominador zero)
Então o domínio é
Passo 6
Para achar as raízes, impomos
:
daí
ou
. Ambos estão no domínio que encontramos.
Resposta
Domínio:
Raízes: e
Raízes: