Encontre o conjunto domínio da função real e suas raízes, se possível:

Passo 1

O exercício pede para a gente achar duas coisas da função
f(x)=raizx - x^21 - 2x,:
  1. o domínio (onde a função faz sentido, em ℝ)
  2. as raízes (os valores de x que fazem f(x)=0).
    Isso envolve teoria de domínio de função com radical, inequações de fração e análise de sinais. Vamos precisar garantir que o radicando fique ≥0 e que o denominador nunca zere.

Passo 2

Pra raizA ser real, a gente precisa de:
  1. A >= 0
  2. o denominador de A ≠ 0
Aqui
A = x - x^21 - 2x,
então as condições são
x - x^21 - 2x >= 0 e 1 - 2x neq 0;Longrightarrow;xneq tfrac12

Passo 3

Vamos fatorar o numerador para facilitar a análise de sinais:
x - x^2 = x,(1 - x)
Então nossa inequação vira
x(1 - x)1 - 2x ;>=;0

Passo 4

Os pontos em que cada fator zera são
  • x=0 (zera x),
  • x=1 (zera 1-x),
  • x=tfrac12 (zera o denominador, mas aí exclui do domínio).
Dividimos a reta real em intervalos e conferimos o sinal de cada parte:
Intervalo sinal de x(1-x) sinal de (1-2x) sinal da fração
(-infty,0) +
(0,tfrac12) + + +
(tfrac12,1) +
(1,infty) +

Passo 5

A inequação x(1 - x)1 - 2x>=0 vale quando a fração é positiva ou zero, e sem incluir x=tfrac12. Logo:
  • entra o intervalo (0,tfrac12) (fração >0)
  • entra o intervalo (1,infty) (fração >0)
  • entram também os pontos x=0 e x=1 (dão fração =0)
  • sai x=tfrac12 (denominador zero)
Então o domínio é
[0,tfrac12),cup,[1,infty)

Passo 6

Para achar as raízes, impomos f(x)=0:
raizx - x^21 - 2x = 0 Longrightarrow x - x^21 - 2x = 0 Longrightarrow x(1 - x) = 0
daí x=0 ou x=1. Ambos estão no domínio que encontramos.

Resposta

Domínio: [0,tfrac12),cup,[1,infty)
Raízes: x=0 e x=1

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