No corpo dos reais prove que para
, temos
se e somente se
. (Se não for zero pode passar dividindo).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando as propriedades de corpo (campo) dos reais, que para todo
vale
O que vamos usar é o axioma de existência de inverso multiplicativo em
(isto é, existe
tal que
) e a propriedade de cancelamento.
Passo 2
Suponha primeiro que
Como
, o inverso
existe. Multiplicamos a igualdade à direita por
:
Pela associatividade e pelo fato de
, o lado esquerdo fica
Logo
que é exatamente
Passo 3
Agora, suponha que
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Pela associatividade e pelo fato de
, o lado direito vira
Logo
Resposta
Portanto, em
com
, temos