No corpo dos reais prove que para c neq 0, temos ac=b se e somente se a=bc. (Se não for zero pode passar dividindo).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando as propriedades de corpo (campo) dos reais, que para todo cneq0 vale
ac = b Long<=ftrightarrow a = bc
O que vamos usar é o axioma de existência de inverso multiplicativo em Rsetminus0 (isto é, existe c^-1 tal que c,c^-1=1) e a propriedade de cancelamento.

Passo 2

Suponha primeiro que
ac = b
Como cneq0, o inverso c^-1 existe. Multiplicamos a igualdade à direita por c^-1:
(ac),c^-1 = b,c^-1
Pela associatividade e pelo fato de c,c^-1=1, o lado esquerdo fica
a,(c,c^-1) = acdot1 = a
Logo
a = b,c^-1,
que é exatamente
a = bc

Passo 3

Agora, suponha que
a = bc = b,c^-1
Multiplicando ambos os lados por c, obtemos
a,c = (b,c^-1),c
Pela associatividade e pelo fato de c^-1c=1, o lado direito vira
b,(c^-1c) = bcdot1 = b
Logo
a,c = b

Resposta

Portanto, em R com cneq0, temos
ac=bLong<=ftrightarrow a=bc

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