No corpo dos reais prove que para
temos
se e somente se
(Se não for zero pode simplificar).
Passo 1
O enunciado pede para provar, no corpo dos reais, o princípio do cancelamento: para
com
,
Vamos usar que
é um corpo, logo todo elemento não–nulo tem inverso multiplicativo, e que a multiplicação é associativa e comutativa.
Passo 2
Prova da implicação direta “
”. Se
, então, ao multiplicar ambos os lados por
, obtemos
pois basta substituir
por
. Essa parte é imediata.
Passo 3
Prova da implicação inversa “
”. Suponha
e
Como
é não–nulo em
, existe o inverso multiplicativo
. Multiplicamos a igualdade por
:
Pela associatividade e comutatividade da multiplicação,
Mas
, o elemento neutro, então
isto é,
Resposta
Portanto, em
, para
temos
ou seja, sempre que
podemos simplificar
nos dois lados da igualdade.