No corpo dos reais prove que para c neq 0 temos ac=bc se e somente se a=b (Se não for zero pode simplificar).

Passo 1

O enunciado pede para provar, no corpo dos reais, o princípio do cancelamento: para a,b,cinR com cneq 0,
ac=bcLong<=ftrightarrow a=b
Vamos usar que R é um corpo, logo todo elemento não–nulo tem inverso multiplicativo, e que a multiplicação é associativa e comutativa.

Passo 2

Prova da implicação direta “ Rightarrow”. Se a=b, então, ao multiplicar ambos os lados por c, obtemos
ac = bc,
pois basta substituir b por a. Essa parte é imediata.

Passo 3

Prova da implicação inversa “ Leftarrow”. Suponha cneq 0 e
ac = bc
Como c é não–nulo em R, existe o inverso multiplicativo c^-1. Multiplicamos a igualdade por c^-1:
c^-1,(ac)=c^-1,(bc)
Pela associatividade e comutatividade da multiplicação,
(c^-1c),a=(c^-1c),b
Mas c^-1c=1, o elemento neutro, então
1cdot a = 1cdot b,
isto é,
a=b

Resposta

Portanto, em R, para cneq 0 temos
ac=bcLong<=ftrightarrow a=b,
ou seja, sempre que cneq 0 podemos simplificar c nos dois lados da igualdade.

Exercícios relacionados