No corpo dos reais prove que para
e
vale:
. (Somar frações é fazer o MMC).
Passo 1
Estamos no corpo dos reais, onde toda não-zero tem inverso multiplicativo e valem as propriedades distributiva, associativa e comutativa de soma e produto. O enunciado pede para mostrar que, dado
e
,
Para isso precisamos (i) encontrar um denominador comum que seja não-zero e (ii) usar a distributividade no numerador.
Passo 2
Como
e
, pelo axioma de corpo temos
Isso garante que dividir por
é uma operação válida no corpo dos reais.
Passo 3
Para somar as frações, escrevemos cada uma com denominador comum
. Primeiro,
Aqui usamos que
, pois
.
Passo 4
De modo análogo,
Passo 5
Agora que ambas têm o mesmo denominador
, somamos numeradores e mantemos o denominador comum:
Aqui usamos a propriedade distributiva da soma em relação ao produto.