No corpo dos reais prove que para b neq 0 e d neq 0 vale: ab+cd=ad+bcbc. (Somar frações é fazer o MMC).

Passo 1

Estamos no corpo dos reais, onde toda não-zero tem inverso multiplicativo e valem as propriedades distributiva, associativa e comutativa de soma e produto. O enunciado pede para mostrar que, dado bneq0 e dneq0,
ab + cd = ad + bcbd
Para isso precisamos (i) encontrar um denominador comum que seja não-zero e (ii) usar a distributividade no numerador.

Passo 2

Como bneq0 e dneq0, pelo axioma de corpo temos
bd neq 0
Isso garante que dividir por bd é uma operação válida no corpo dos reais.

Passo 3

Para somar as frações, escrevemos cada uma com denominador comum bd. Primeiro,
ab = abcdotdd = a,db,d
Aqui usamos que tfracdd=1, pois dneq0.

Passo 4

De modo análogo,
cd = cdcdotbb = c,bd,b = b,cb,d

Passo 5

Agora que ambas têm o mesmo denominador bd, somamos numeradores e mantemos o denominador comum:
a,db,d + b,cb,d = a,d + b,cb,d
Aqui usamos a propriedade distributiva da soma em relação ao produto.

Resposta

ab + cd = ad + bcbd

Exercícios relacionados