Prove que no corpo dos reais vale:
(Como achar as raízes da equação de segundo grau);
Passo 1
O enunciado quer duas coisas:
- Mostrar, no corpo dos reais
, que
- A partir disso (e em geral), explicar como achar as raízes de uma equação de segundo grau.
Para isso vamos usar as propriedades do corpo: comutatividade e associatividade da adição e multiplicação, existência de elemento neutro e inverso, e especialmente a lei distributiva.
Passo 2
Aplicamos a distributiva ao produto de binômios. Primeiro multiplicamos cada termo de
por cada termo de
:
Ora, por definição,
e também usamos a comutatividade para ver que
e
. Logo
Passo 3
Agora basta agrupar os termos semelhantes
. Como
pela distributiva inversa, concluímos
que era o que queríamos provar.
Passo 4
Para achar as raízes da equação de segundo grau usamos duas abordagens:
a) Fatoração imediata, no caso especial
Pelo princípio do corpo, um produto é zero se e só se um dos fatores é zero. Assim
ou
b) Fórmula geral (completar o quadrado). Dada
dividimos tudo por
, obtendo
Isolamos os termos quadrático e linear:
Para completar o quadrado, somamos e subtraímos
:
O lado esquerdo vira um quadrado perfeito:
Extraindo raiz quadrada de ambos os lados,
e assim
Resposta
A identidade no corpo dos reais é
As raízes da equação geral
são