Prove que no corpo dos reais vale:
(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab (Como achar as raízes da equação de segundo grau);

Passo 1

O enunciado quer duas coisas:
  1. Mostrar, no corpo dos reais ( R,+,cdot), que
(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab
  1. A partir disso (e em geral), explicar como achar as raízes de uma equação de segundo grau.
    Para isso vamos usar as propriedades do corpo: comutatividade e associatividade da adição e multiplicação, existência de elemento neutro e inverso, e especialmente a lei distributiva.

Passo 2

Aplicamos a distributiva ao produto de binômios. Primeiro multiplicamos cada termo de (x+a) por cada termo de (x+b):
(x+a)(x+b) = xcdot x ;+; xcdot b ;+; acdot x ;+; acdot b
Ora, por definição, xcdot x = x^2 e também usamos a comutatividade para ver que xcdot b = b x e acdot x = a x. Logo
(x+a)(x+b) = x^2 ;+; b x ;+; a x ;+; ab

Passo 3

Agora basta agrupar os termos semelhantes b x + a x. Como b x + a x = (a+b)x pela distributiva inversa, concluímos
(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab,
que era o que queríamos provar.

Passo 4

Para achar as raízes da equação de segundo grau usamos duas abordagens:
a) Fatoração imediata, no caso especial
(x+a)(x+b)=0
Pelo princípio do corpo, um produto é zero se e só se um dos fatores é zero. Assim
x+a=0Longrightarrow x=-a,
ou
x+b=0Longrightarrow x=-b
b) Fórmula geral (completar o quadrado). Dada
a x^2 + b x + c = 0, aneq0,
dividimos tudo por a, obtendo
x^2 + bax + ca=0
Isolamos os termos quadrático e linear:
x^2 + bax = -ca
Para completar o quadrado, somamos e subtraímos l(tfracb2ar)^2:
x^2 + bax + l(b2ar)^2 = -ca + l(b2ar)^2
O lado esquerdo vira um quadrado perfeito:
l(x + b2ar)^2 = b^2 - 4ac4a^2
Extraindo raiz quadrada de ambos os lados,
x + b2a = pm raizb^2 - 4ac2a,
e assim
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a

Resposta

A identidade no corpo dos reais é
(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab
As raízes da equação geral a x^2 + b x + c = 0 são
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a

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