Um corpo rígido possui eixos principais de inércia dados por xi1, xi2, xi3 em relação a seu centro de massa, e xi3 é um eixo de simetria. Além disso, o corpo experimenta um torque constante (em relação ao centro de massa) dado por tau=tau3 xi3.
Calcule omega3=omega3(t) usando como condição inicial que omega3(0)=0;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. Temos um corpo rígido com três eixos principais de inércia, sendo que o eixo xi3 é de simetria. Esse corpo está recebendo um torque constante na direção desse eixo de simetria, dado por tau = tau3 xi3. A gente precisa descobrir como a velocidade angular ao longo desse eixo, omega3(t), varia com o tempo, considerando que no tempo inicial, ou seja, t = 0, a velocidade angular é zero ( omega3(0) = 0).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica rotational, especificamente a relação entre torque, momento de inércia e velocidade angular. Também vamos utilizar a segunda lei de Newton para rotação, que relaciona torque e variação do momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton para rotação, que é análoga à segunda lei para movimento linear. Ela nos diz que o torque total aplicado em um corpo é igual à taxa de variação do momento angular desse corpo:
tau = dLdt
Aqui, L é o momento angular.

Passo 3

Como estamos lidando com movimentos ao redor dos eixos principais de inércia, podemos simplificar as coisas. O momento angular em torno do eixo xi3 é dado por:
L3 = I3 omega3
Onde:
  • I3 é o momento de inércia em relação ao eixo 3.
  • omega3 é a velocidade angular ao redor desse eixo.

Passo 4

Vamos substituir L3 na equação da segunda lei:
tau3 = ddt(I3 omega3)
Se o momento de inércia I3 for constante (o que é geralmente o caso para um corpo rígido sem deformações), podemos tirar I3 para fora da derivada:
tau3 = I3 domega3dt

Passo 5

Agora, vamos isolar a derivada de omega3:
domega3dt = tau3I3
Isso nos diz que a taxa de variação da velocidade angular é constante, já que o torque e o momento de inércia são constantes.

Passo 6

Para encontrar omega3(t), precisamos integrar essa equação em relação ao tempo:
omega3(t) = integral tau3I3 dt + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Integrando, temos:
omega3(t) = tau3I3 t + C
Agora, usamos a condição inicial fornecida: omega3(0) = 0.

Passo 8

Substituindo t = 0 na equação:
0 = tau3I3 cdot 0 + C Rightarrow C = 0

Resposta

Portanto, a velocidade angular ao longo do eixo 3 em função do tempo é:
omega3(t) = tau3I3 , t

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