Um corpo rígido possui eixos principais de inércia dados por
em relação a seu centro de massa, e
é um eixo de simetria. Além disso, o corpo experimenta um torque constante (em relação ao centro de massa) dado por
.
Calcule
usando como condição inicial que
;
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. Temos um corpo rígido com três eixos principais de inércia, sendo que o eixo
é de simetria. Esse corpo está recebendo um torque constante na direção desse eixo de simetria, dado por
. A gente precisa descobrir como a velocidade angular ao longo desse eixo,
, varia com o tempo, considerando que no tempo inicial, ou seja,
, a velocidade angular é zero (
).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica rotational, especificamente a relação entre torque, momento de inércia e velocidade angular. Também vamos utilizar a segunda lei de Newton para rotação, que relaciona torque e variação do momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton para rotação, que é análoga à segunda lei para movimento linear. Ela nos diz que o torque total aplicado em um corpo é igual à taxa de variação do momento angular desse corpo:
Aqui,
é o momento angular.
Passo 3
Como estamos lidando com movimentos ao redor dos eixos principais de inércia, podemos simplificar as coisas. O momento angular em torno do eixo
é dado por:
Onde:
-
é o momento de inércia em relação ao eixo 3. -
é a velocidade angular ao redor desse eixo.
Passo 4
Vamos substituir
na equação da segunda lei:
Se o momento de inércia
for constante (o que é geralmente o caso para um corpo rígido sem deformações), podemos tirar
para fora da derivada:
Passo 5
Agora, vamos isolar a derivada de
:
Isso nos diz que a taxa de variação da velocidade angular é constante, já que o torque e o momento de inércia são constantes.
Passo 6
Para encontrar
, precisamos integrar essa equação em relação ao tempo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Integrando, temos:
Agora, usamos a condição inicial fornecida:
.
Passo 8
Substituindo
na equação:
Resposta
Portanto, a velocidade angular ao longo do eixo 3 em função do tempo é: