Para um corpo rígido, seja \mathbf{I}_{O} o tensor de inércia em relação a uma origem arbitrária O e \mathbf{I}_{G} o tensor de inércia relativo ao centro de massa G. Considere que \vec{r} e \overrightarrow{r^{\prime}} são os vetores posição de um ponto P qualquer do corpo em relação a O e a G, respectivamente, e que \vec{R} seja a coordenada de G em relação a O, de modo que \vec{r}=\overrightarrow{r^{\prime}}+\vec{R}. Partindo da eq. (46), mostre que
\mathbf{I}_{O}=\mathbf{I}_{G}+M\left(R^{2} \mathbf{1}-\vec{R} \vec{R}\right)
em analogia com o Teorema dos Eixos Paralelos para o momento de inércia.

Passo 1

O enunciado pede para provar a relação entre os tensores de inércia calculados em duas origens diferentes:
\mathbf{I}_{O}=\mathbf{I}_{G}+M\left(R^{2}\mathbf{1}-\vec{R}\vec{R}\right).
Dados fornecidos e o que devemos usar:
  • \mathbf{I}_{O} é o tensor de inércia em relação à origem O.
  • \mathbf{I}_{G} é o tensor de inércia em relação ao centro de massa G.
  • \vec{r} é o vetor posição de um ponto P do corpo em relação a O.
  • \overrightarrow{r^{\prime}} é o vetor posição do mesmo ponto P em relação a G.
  • \vec{R} é a coordenada de G em relação a O, e vale \vec{r}=\overrightarrow{r^{\prime}}+\vec{R}.
  • M é a massa total do corpo, M=\displaystyle\int dm.
  • Devemos partir da eq. (46) (a definição do tensor de inércia usada na prova).

Passo 2

Escrevemos a definição do tensor de inércia (eq. (46)), explicando cada termo:
\mathbf{I}_{O}=\int\bigl((\vec{r}\cdot\vec{r})\mathbf{1}-\vec{r}\,\vec{r}\bigr)\,dm.
Explicações:
  • (\vec{r}\cdot\vec{r}) é o quadrado da norma de \vec{r}, ou seja r^{2}.
  • \mathbf{1} é a matriz identidade 3\times3.
  • \vec{r}\,\vec{r} é o produto dyádico (ou produto externo) que produz uma matriz com entradas (\vec{r}\,\vec{r})_{ij}=r_{i}r_{j}.
  • A integral \int(\cdot)\,dm soma contribuições de todos os elementos de massa do corpo.

Passo 3

Substituímos \vec{r}=\overrightarrow{r^{\prime}}+\vec{R} na expressão de \mathbf{I}_{O}:
\mathbf{I}_{O}=\int\Bigl(\bigl((\overrightarrow{r^{\prime}}+\vec{R})\cdot(\overrightarrow{r^{\prime}}+\vec{R})\bigr)\mathbf{1}-(\overrightarrow{r^{\prime}}+\vec{R})(\overrightarrow{r^{\prime}}+\vec{R})\Bigr)\,dm.

Passo 4

Expandimos o escalar (\overrightarrow{r^{\prime}}+\vec{R})\cdot(\overrightarrow{r^{\prime}}+\vec{R}):
(\overrightarrow{r^{\prime}}+\vec{R})\cdot(\overrightarrow{r^{\prime}}+\vec{R})=\overrightarrow{r^{\prime}}\cdot\overrightarrow{r^{\prime}}+2\,\overrightarrow{r^{\prime}}\cdot\vec{R}+\vec{R}\cdot\vec{R}.
Nota: \vec{R} é constante (não depende de dm), então \vec{R}\cdot\vec{R}=R^{2} é uma constante.

Passo 5

Expandimos o produto dyádico:
(\overrightarrow{r^{\prime}}+\vec{R})(\overrightarrow{r^{\prime}}+\vec{R})=\overrightarrow{r^{\prime}}\,\overrightarrow{r^{\prime}}+\overrightarrow{r^{\prime}}\,\vec{R}+\vec{R}\,\overrightarrow{r^{\prime}}+\vec{R}\,\vec{R}.
Aqui \overrightarrow{r^{\prime}}\,\vec{R} e \vec{R}\,\overrightarrow{r^{\prime}} são dyádicos mistos (matrizes cujas entradas dependem em geral em \overrightarrow{r^{\prime}}).

Passo 6

Substituindo as expansões de Passos 4 e 5 no integrando obtemos, organizando em três blocos:
\begin{aligned} (\vec{r}\cdot\vec{r})\mathbf{1}-\vec{r}\,\vec{r} &=\bigl(\overrightarrow{r^{\prime}}\cdot\overrightarrow{r^{\prime}}\bigr)\mathbf{1}-\overrightarrow{r^{\prime}}\,\overrightarrow{r^{\prime}}\\\ &\quad +\bigl(2\,\overrightarrow{r^{\prime}}\cdot\vec{R}\bigr)\mathbf{1}-\bigl(\overrightarrow{r^{\prime}}\,\vec{R}+\vec{R}\,\overrightarrow{r^{\prime}}\bigr)\\\ &\quad +\bigl(\vec{R}\cdot\vec{R}\bigr)\mathbf{1}-\vec{R}\,\vec{R}. \end{aligned}
Portanto
\mathbf{I}_{O}=\int\Bigl[\underbrace{\bigl((\overrightarrow{r^{\prime}}\cdot\overrightarrow{r^{\prime}})\mathbf{1}-\overrightarrow{r^{\prime}}\,\overrightarrow{r^{\prime}}\bigr)}_{\text{(A)}}+\underbrace{\bigl(2\,\overrightarrow{r^{\prime}}\cdot\vec{R}\,\mathbf{1}-\overrightarrow{r^{\prime}}\,\vec{R}-\vec{R}\,\overrightarrow{r^{\prime}}\bigr)}_{\text{(B)}}+\underbrace{\bigl(R^{2}\mathbf{1}-\vec{R}\,\vec{R}\bigr)}_{\text{\text{(C)}}}\Bigr]\,dm.

Passo 7

Identificamos o primeiro bloco (A) com \mathbf{I}_{G}, pois pela definição do tensor de inércia em relação a G:
\mathbf{I}_{G}=\int\bigl((\overrightarrow{r^{\prime}}\cdot\overrightarrow{r^{\prime}})\mathbf{1}-\overrightarrow{r^{\prime}}\,\overrightarrow{r^{\prime}}\bigr)\,dm.
Logo a integral do bloco (A) é exatamente \mathbf{I}_{G}.

Passo 8

Mostramos que a integral do bloco (B) é nula. Usamos a definição do centro de massa: como \overrightarrow{r^{\prime}} é posição relativa a G,
\int\overrightarrow{r^{\prime}}\,dm=\vec{0}.
Agora avaliamo o bloco (B) termo a termo, lembrando que \vec{R} é constante w.r.t. dm:
  • \displaystyle\int 2(\overrightarrow{r^{\prime}}\cdot\vec{R})\,\mathbf{1}\,dm = 2\bigl(\vec{R}\cdot\int\overrightarrow{r^{\prime}}\,dm\bigr)\mathbf{1}=2(\vec{R}\cdot\vec{0})\mathbf{1}=\mathbf{0}.
  • \displaystyle\int\overrightarrow{r^{\prime}}\,\vec{R}\,dm = \bigl(\int\overrightarrow{r^{\prime}}\,dm\bigr)\vec{R}=\vec{0}\,\vec{R}=\mathbf{0}.
  • \displaystyle\int\vec{R}\,\overrightarrow{r^{\prime}}\,dm = \vec{R}\bigl(\int\overrightarrow{r^{\prime}}\,dm\bigr)=\vec{R}\,\vec{0}=\mathbf{0}.
    Portanto a integral do bloco (B) é a matriz zero.

Passo 9

A integral do bloco (C) pode ser tirada da integral porque \vec{R} é constante:
\int\bigl(R^{2}\mathbf{1}-\vec{R}\,\vec{R}\bigr)\,dm=\bigl(R^{2}\mathbf{1}-\vec{R}\,\vec{R}\bigr)\int dm=\bigl(R^{2}\mathbf{1}-\vec{R}\,\vec{R}\bigr)M,
onde M=\displaystyle\int dm é a massa total.

Passo 10

Juntando os resultados dos passos anteriores:
\mathbf{I}_{O}=\mathbf{I}_{G}+\mathbf{0}+M\bigl(R^{2}\mathbf{1}-\vec{R}\,\vec{R}\bigr).
Cancelando o termo nulo, obtemos a fórmula desejada. Essa expressão é a forma matricial/tensorial do Teorema dos Eixos Paralelos para o tensor de inércia.

Resposta

\mathbf{I}_{O}=\mathbf{I}_{G}+M\left(R^{2}\mathbf{1}-\vec{R}\vec{R}\right)

Exercícios relacionados