Para um corpo rígido, seja \mathbf{I}_{O} o tensor de inércia em relação a uma origem arbitrária O e \mathbf{I}_{G} o tensor de inércia relativo ao centro de massa G. Considere que \vec{r} e \overrightarrow{r^{\prime}} são os vetores posição de um ponto P qualquer do corpo em relação a O e a G, respectivamente, e que \vec{R} seja a coordenada de G em relação a O, de modo que \vec{r}=\overrightarrow{r^{\prime}}+\vec{R}. Partindo da eq. (46), mostre que
Aqui \overrightarrow{r^{\prime}}\,\vec{R} e \vec{R}\,\overrightarrow{r^{\prime}} são dyádicos mistos (matrizes cujas entradas dependem em geral em \overrightarrow{r^{\prime}}).
Passo 6
Substituindo as expansões de Passos 4 e 5 no integrando obtemos, organizando em três blocos:
\displaystyle\int\vec{R}\,\overrightarrow{r^{\prime}}\,dm = \vec{R}\bigl(\int\overrightarrow{r^{\prime}}\,dm\bigr)=\vec{R}\,\vec{0}=\mathbf{0}.
Portanto a integral do bloco (B) é a matriz zero.
Passo 9
A integral do bloco (C) pode ser tirada da integral porque \vec{R} é constante:
Cancelando o termo nulo, obtemos a fórmula desejada. Essa expressão é a forma matricial/tensorial do Teorema dos Eixos Paralelos para o tensor de inércia.