O tensor de inércia de um corpo rígido é dado pela eq. (5). Para um corpo cuja densidade é
, reescreve-se o tensor de inércia como
O índice
lembra que o tensor de inércia foi calculado em relação a um sistema de eixos com origem em
. Esse índice será omitido, a não ser que a discussão envolva mais de uma origem. Escreva I em termos de seus componentes. Mostre que
Verifique que
e
(componentes da diagonal) correspondem aos momentos de inércia do corpo em relação aos eixos
e
, respectivamente. Mostre que
Esses componentes de
fora da diagonal são chamados ‘produtos de inércia’. Pela eq. (27), verifica-se que o momento de inércia em relação a qualquer eixo que passe por
, em direção determinada pelo vetor unitário
será
Passo 1
O enunciado nos dá o tensor de inércia relativo à origem
na forma
Informações relevantes e o que é pedido:
-
é o vetor posição do ponto de massa: . -
. -
é a matriz identidade . - O enunciado pede que escrevamos
em termos de componentes e que mostremos explicitamente e também que mostremos os produtos de inércia - Finalmente, verificar que o momento de inércia em relação a qualquer eixo de direção unitária
que passa por é dado por
Passo 2
Vamos escrever a expressão em componentes. Definimos os componentes de
por
onde
são os versores das direções
(ou escrevemos
). Usando a forma dada em produto dyádico, o componente
é
onde
é o delta de Kronecker (
se
, e
se
), e
é a
-ésima componente de
(ou seja
,
,
). Esta expressão vem simplesmente do fato de que a matriz identidade tem componentes
e o produto externo
tem componentes
.
Passo 3
Calculemos os componentes da diagonal (caso
). Para
temos
Como
e
e
, obtemos
Analogamente, para
e para
Essas são exatamente as expressões pedidas.
Passo 4
Explicação física didática: por que
é o momento de inércia em relação ao eixo
?
- O momento de inércia em relação a um eixo é a integral da densidade vezes o quadrado da distância do ponto de massa ao eixo.
- Para o eixo
, a distância perpendicular de um ponto ao eixo é , logo o quadrado dessa distância é . - Portanto o momento de inércia em relação ao eixo
é exatamente igual a . O mesmo argumento vale para e . Assim os elementos diagonais correspondem aos momentos de inércia em relação aos eixos coordenados.
Passo 5
Agora calculemos os elementos fora da diagonal (produtos de inércia), caso
. Por exemplo, para
,
:
Como
quando
, isto reduz-se a
Analogamente
Passo 6
Mostramos a simetria dos componentes: note que
. Como
e
, segue que
. Portanto os produtos de inércia são simétricos:
,
,
.
Passo 7
Mostremos a fórmula para o momento de inércia em relação a um eixo na direção do vetor unitário
que passa por
. Começamos pela expressão matricial
Escrevendo em componentes e trocando soma com integral,
Colocando a integral à frente,
Reconhecendo vetorialmente
(pois
é unitário) e
, obtemos
Mas
é exatamente o quadrado da distância perpendicular do ponto
ao eixo definido por
. Portanto
é a integral da densidade vezes essa distância ao quadrado, ou seja o momento de inércia em relação ao eixo de direção
. Assim a fórmula matricial coincide com a definição física de momento de inércia em relação a qualquer eixo que passe por
.
Passo 8
Resumo final do que foi demonstrado:
- Expressamos os componentes gerais por
. - Deduziemos explicitamente os elementos da diagonal e os produtos de inércia fora da diagonal.
- Verificamos a interpretação física dos elementos diagonais como momentos em relação aos eixos coordenados.
- Demonstramos que
, que corresponde ao momento em relação ao eixo de direção .