O tensor de inércia de um corpo rígido é dado pela eq. (5). Para um corpo cuja densidade é \rho(x, y, z), reescreve-se o tensor de inércia como
\mathbf{I}_{O}=\int \rho\left(r^{2} \mathbf{1}-\vec{r} \vec{r}\right) d V
O índice O lembra que o tensor de inércia foi calculado em relação a um sistema de eixos com origem em O. Esse índice será omitido, a não ser que a discussão envolva mais de uma origem. Escreva I em termos de seus componentes. Mostre que
I_{x x}=\int \rho\left(y^{2}+z^{2}\right) d V, \quad I_{y y}=\int \rho\left(x^{2}+z^{2}\right) d V, \quad I_{z z}=\int \rho\left(x^{2}+y^{2}\right) d V
Verifique que I_{x x}, I_{y y} e I_{z z} (componentes da diagonal) correspondem aos momentos de inércia do corpo em relação aos eixos x, y e z, respectivamente. Mostre que
I_{x y}=I_{y x}=-\int \rho x y d V, \quad I_{y z}=I_{z y}=-\int \rho y z d V, \quad I_{z x}=I_{x z}=-\int \rho z x d V
Esses componentes de \mathbf{I} fora da diagonal são chamados ‘produtos de inércia’. Pela eq. (27), verifica-se que o momento de inércia em relação a qualquer eixo que passe por O, em direção determinada pelo vetor unitário \hat{n} será
I_{\hat{n}}=\hat{n} \cdot \mathbf{I} \cdot \hat{n}

Passo 1

O enunciado nos dá o tensor de inércia relativo à origem O na forma
\mathbf{I}=\int \rho\left(r^{2}\mathbf{1}-\vec{r}\,\vec{r}\right)\,dV.
Informações relevantes e o que é pedido:
  • \vec{r} é o vetor posição do ponto de massa: \vec{r}=(x,y,z).
  • r^{2}=\|\vec{r}\|^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
  • \mathbf{1} é a matriz identidade 3\times3.
  • O enunciado pede que escrevamos \mathbf{I} em termos de componentes I_{ij} e que mostremos explicitamente I_{x x}=\int \rho\left(y^{2}+z^{2}\right) d V,\quad I_{y y}=\int \rho\left(x^{2}+z^{2}\right) d V,\quad I_{z z}=\int \rho\left(x^{2}+y^{2}\right) d V,e também que mostremos os produtos de inércia I_{x y}=I_{y x}=-\int \rho x y d V,\quad I_{y z}=I_{z y}=-\int \rho y z d V,\quad I_{z x}=I_{x z}=-\int \rho z x d V.
  • Finalmente, verificar que o momento de inércia em relação a qualquer eixo de direção unitária \hat{n} que passa por O é dado por I_{\hat{n}}=\hat{n}\cdot\mathbf{I}\cdot\hat{n}.

Passo 2

Vamos escrever a expressão em componentes. Definimos os componentes de \mathbf{I} por
I_{ij}=\mathbf{e}_{i}\cdot\mathbf{I}\cdot\mathbf{e}_{j},
onde \mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3} são os versores das direções x,y,z (ou escrevemos i,j\in\{x,y,z\}). Usando a forma dada em produto dyádico, o componente I_{ij} é
I_{ij}=\int \rho\left(r^{2}\delta_{ij}-r_{i}r_{j}\right)\,dV,
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker ( \delta_{ij}=1 se i=j, e 0 se i\ne j), e r_{i} é a i-ésima componente de \vec r (ou seja r_{x}=x, r_{y}=y, r_{z}=z). Esta expressão vem simplesmente do fato de que a matriz identidade tem componentes \delta_{ij} e o produto externo \vec r\vec r tem componentes r_i r_j.

Passo 3

Calculemos os componentes da diagonal (caso i=j). Para i=x temos
I_{xx}=\int \rho\left(r^{2}\delta_{xx}-r_{x}r_{x}\right)\,dV.
Como \delta_{xx}=1 e r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} e r_x=x, obtemos
I_{xx}=\int \rho\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-x^{2}\right)\,dV=\int \rho\left(y^{2}+z^{2}\right)\,dV.
Analogamente, para i=y
I_{yy}=\int \rho\left(r^{2}\delta_{yy}-r_{y}r_{y}\right)\,dV=\int \rho\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-y^{2}\right)\,dV=\int \rho\left(x^{2}+z^{2}\right)\,dV,
e para i=z
I_{zz}=\int \rho\left(r^{2}\delta_{zz}-r_{z}r_{z}\right)\,dV=\int \rho\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dV.
Essas são exatamente as expressões pedidas.

Passo 4

Explicação física didática: por que I_{xx} é o momento de inércia em relação ao eixo x?
  • O momento de inércia em relação a um eixo é a integral da densidade vezes o quadrado da distância do ponto de massa ao eixo.
  • Para o eixo x, a distância perpendicular de um ponto (x,y,z) ao eixo x é \sqrt{y^{2}+z^{2}}, logo o quadrado dessa distância é y^{2}+z^{2}.
  • Portanto o momento de inércia em relação ao eixo x é \int \rho\,(y^{2}+z^{2})\,dV,exatamente igual a I_{xx}. O mesmo argumento vale para I_{yy} e I_{zz}. Assim os elementos diagonais correspondem aos momentos de inércia em relação aos eixos coordenados.

Passo 5

Agora calculemos os elementos fora da diagonal (produtos de inércia), caso i\ne j. Por exemplo, para i=x, j=y:
I_{xy}=\int \rho\left(r^{2}\delta_{xy}-r_{x}r_{y}\right)\,dV.
Como \delta_{xy}=0 quando x\ne y, isto reduz-se a
I_{xy}=-\int \rho\,r_{x}r_{y}\,dV=-\int \rho\,x y\,dV.
Analogamente
I_{yz}=-\int \rho\,y z\,dV,\qquad I_{zx}=-\int \rho\,z x\,dV.

Passo 6

Mostramos a simetria dos componentes: note que I_{ij}=\int\rho(r^{2}\delta_{ij}-r_i r_j)\,dV. Como r_ir_j=r_jr_i e \delta_{ij}=\delta_{ji}, segue que I_{ij}=I_{ji}. Portanto os produtos de inércia são simétricos: I_{xy}=I_{yx}, I_{yz}=I_{zy}, I_{zx}=I_{xz}.

Passo 7

Mostremos a fórmula para o momento de inércia em relação a um eixo na direção do vetor unitário \hat{n} que passa por O. Começamos pela expressão matricial
I_{\hat{n}}=\hat{n}\cdot\mathbf{I}\cdot\hat{n}.
Escrevendo em componentes e trocando soma com integral,
I_{\hat{n}}=\sum_{i,j} n_{i}I_{ij}n_{j}=\sum_{i,j} n_{i}n_{j}\int \rho\left(r^{2}\delta_{ij}-r_{i}r_{j}\right)\,dV.
Colocando a integral à frente,
I_{\hat{n}}=\int \rho\left(r^{2}\sum_{i}n_{i}n_{i}-\sum_{i,j}n_{i}r_{i}\,n_{j}r_{j}\right)\,dV.
Reconhecendo vetorialmente \sum_{i}n_{i}n_{i}=\hat{n}\cdot\hat{n}=1 (pois \hat{n} é unitário) e \sum_{i}n_{i}r_{i}=\hat{n}\cdot\vec r, obtemos
I_{\hat{n}}=\int \rho\left(r^{2}-(\hat{n}\cdot\vec r)^{2}\right)\,dV.
Mas r^{2}-(\hat{n}\cdot\vec r)^{2} é exatamente o quadrado da distância perpendicular do ponto \vec r ao eixo definido por \hat{n}. Portanto I_{\hat{n}} é a integral da densidade vezes essa distância ao quadrado, ou seja o momento de inércia em relação ao eixo de direção \hat{n}. Assim a fórmula matricial coincide com a definição física de momento de inércia em relação a qualquer eixo que passe por O.

Passo 8

Resumo final do que foi demonstrado:
  • Expressamos os componentes gerais por I_{ij}=\int \rho\left(r^{2}\delta_{ij}-r_{i}r_{j}\right)\,dV.
  • Deduziemos explicitamente os elementos da diagonal e os produtos de inércia fora da diagonal.
  • Verificamos a interpretação física dos elementos diagonais como momentos em relação aos eixos coordenados.
  • Demonstramos que I_{\hat{n}}=\hat{n}\cdot\mathbf{I}\cdot\hat{n}=\int \rho\left(r^{2}-(\hat{n}\cdot\vec r)^{2}\right)\,dV, que corresponde ao momento em relação ao eixo de direção \hat{n}.

Resposta

I_{x x}=\displaystyle\int \rho\left(y^{2}+z^{2}\right)\,d V
I_{y y}=\displaystyle\int \rho\left(x^{2}+z^{2}\right)\,d V
I_{z z}=\displaystyle\int \rho\left(x^{2}+y^{2}\right)\,d V
I_{x y}=I_{y x}=-\displaystyle\int \rho\,x y\,d V
I_{y z}=I_{z y}=-\displaystyle\int \rho\,y z\,d V
I_{z x}=I_{x z}=-\displaystyle\int \rho\,z x\,d V
I_{\hat{n}}=\hat{n}\cdot\mathbf{I}\cdot\hat{n}=\displaystyle\int \rho\left(r^{2}-(\hat{n}\cdot\vec r)^{2}\right)\,dV

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