Um tensor em um sistema de coordenadas particular pode ter a seguinte matriz:
\mathbf{T}=\left(\begin{array}{ccc} T_{1} & 0 & 0 \\\\ 0 & T_{2} & 0 \\\\ 0 & 0 & T_{3} \end{array}\right)
indicando que esse tensor está em forma diagonal. Nesse caso, o efeito da sua aplicação sobre um vetor é dado simplesmente por
(\mathbf{T} \cdot \vec{C})_{i}=T_{i} C_{i}
Qualquer tensor simétrico pode ser apresentado em forma diagonal desde que sofra uma transformação ortogonal. Os eixos \hat{e}_{1}, \hat{e}_{2} e \hat{e}_{3} do sistema de coordenadas em que o tensor tem forma diagonal chamam-se ‘eixos principais’. Os elementos diagonais T_{1}, T_{2} e T_{3} são chamados ‘autovalores’ de \mathbf{T}. Qualquer vetor \vec{C} paralelo a um eixo principal chama-se um ‘auto-vetor’ de \mathbf{T}. Um auto-vetor tem a seguinte propriedade:
\mathbf{T} \cdot \vec{C}=T_{i} \vec{C}
em que T_{i} é o auto-valor associado ao eixo principal \hat{e}_{i} paralelo a \vec{C}. Desse modo, podemos visualizar um tensor \mathbf{T} como um conjunto de três números relacionados a três direções perpendiculares definidas no espaço. Quando \mathbf{T} é aplicado a um vetor \vec{C}, o efeito será um estiramento ou uma compressão ao longo de cada eixo principal, acompanhados de uma reflexão se T_{i} for negativo. Verifique a propriedade representada pela eq. (39).

Passo 1

O enunciado dá uma matriz de tensor diagonal e pede para verificar a propriedade dada na equação (39). Dados e pedido, explicitamente:
  • O tensor é
\mathbf{T}=\begin{pmatrix} T_{1} & 0 & 0 \\\\ 0 & T_{2} & 0 \\\\ 0 & 0 & T_{3} \end{pmatrix}.
  • Um vetor arbitrário tem componentes \vec{C}=(C_{1},C_{2},C_{3}).
  • A equação que queremos verificar é a componente-a-componente
(\mathbf{T}\cdot\vec{C})_{i}=T_{i}C_{i},
e, em particular, a afirmação sobre auto-vetores: se \vec{C} é paralelo ao eixo principal \hat{e}_{i} então
\mathbf{T}\cdot\vec{C}=T_{i}\vec{C}.
Não vou resolver nada ainda; agora que está tudo identificado, eu vou mostrar passo a passo como provar essas igualdades.

Passo 2

Regra geral da multiplicação matriz por vetor: para qualquer matriz \mathbf{A}=(A_{ij}) e vetor \vec{C}=(C_{1},C_{2},C_{3}) temos, por definição das componentes do produto,
(\mathbf{A}\cdot\vec{C})_{i}=\sum_{j=1}^{3} A_{ij}\,C_{j}.
Aqui i indica a linha do vetor resultado (ou a componente i-ésima do vetor produto) e j percorre as colunas da matriz multiplicada pelos componentes correspondentes de \vec{C}. Isso é só a definição: pegar a linha i da matriz, fazer produto escalar com o vetor de componentes C_{j}.

Passo 3

Aplicando a fórmula do passo anterior à matriz diagonal \mathbf{T}: como \mathbf{T} tem T_{ij}=0 para i\neq j e T_{ii}=T_{i}, a soma tem apenas um termo não-nulo. Assim, para cada i,
(\mathbf{T}\cdot\vec{C})_{i}=\sum_{j=1}^{3} T_{ij}\,C_{j}=T_{ii}\,C_{i}=T_{i}C_{i}.
Isto prova exatamente a igualdade componente-a-componente dada pela equação (39):
(\mathbf{T}\cdot\vec{C})_{i}=T_{i}C_{i}\quad\text{para }i=1,2,3.
Em palavras: multiplicar por uma matriz diagonal corresponde a multiplicar cada componente do vetor pelo elemento diagonal correspondente.

Passo 4

Agora mostro a parte dos auto-vetores (vetores paralelos aos eixos principais). Se \vec{C} é paralelo ao eixo \hat{e}_{k}, então \vec{C} tem a forma
\vec{C}=C_{k}\,\hat{e}_{k},
o que em componentes significa
C_{j}=0\quad\text{para }j\neq k,\qquad C_{k}\text{ é algum escalar não-nulo (ou zero)}.éã
Usando a fórmula do passo 3, para cada componente i obtemos
(\mathbf{T}\cdot\vec{C})_{i}=T_{i}C_{i}.
Mas como C_{i}=0 para i\neq k, isso dá
(\mathbf{T}\cdot\vec{C})_{i}=0\quad\text{se }i\neq k,
e para i=k temos
(\mathbf{T}\cdot\vec{C})_{k}=T_{k}C_{k}.
Portanto o vetor resultado tem componentes (0,\dots,0,T_{k}C_{k},0,\dots,0), isto é,
\mathbf{T}\cdot\vec{C}=T_{k}\,C_{k}\,\hat{e}_{k}=T_{k}\,\vec{C}.
Isso é exatamente a propriedade de auto-vetor/auto-valor: \vec{C} é um autovetor e T_{k} é o autovalor associado.

Passo 5

Exemplo numérico rápido (para fixar): tome
\mathbf{T}=\begin{pmatrix}2&0&0\\[4pt]0&-1&0\\[4pt]0&0&3\end{pmatrix},\qquad \vec{C}=(0,5,0).
Aqui \vec{C} é paralelo a \hat{e}_{2} com C_{2}=5. Multiplicando,
\mathbf{T}\cdot\vec{C}=\begin{pmatrix}2\cdot 0\\[4pt]-1\cdot 5\\[4pt]3\cdot 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-5\\[4pt]0\end{pmatrix}=-1\begin{pmatrix}0\\[4pt]5\\[4pt]0\end{pmatrix}=-1\,\vec{C}.
Ou seja, \vec{C} é autovetor com autovalor T_{2}=-1; o sinal negativo corresponde a reflexão acompanhando a compressão.]

Passo 6

Dica prática para a prova (curta e útil): se o tensor já está na forma diagonal, verificação é imediata usando a definição de multiplicação (como fizemos). Se o tensor não estiver diagonal e for simétrico, primeiro se diagonaliza por transformação ortogonal (achar autovalores resolvendo \det(\mathbf{T}-\lambda\mathbf{I})=0 e depois os autovetores), e então os autovetores correspondem às direções principais com comportamento \mathbf{T}\cdot\vec{C}=\lambda\vec{C}.

Resposta

(\mathbf{T}\cdot\vec{C})_{i}=T_{i}C_{i} para i=1,2,3.\nSe \vec{C} é paralelo a \hat{e}_{k} (ou seja \vec{C}=C_{k}\hat{e}_{k}), então \mathbf{T}\cdot\vec{C}=T_{k}\vec{C}.

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