Se um corpo rígido tem momento de inércia I e está girando com velocidade angular omega, a energia cinética é dada por
E=12 I omega^2=(I omega)^22 I=L^22 I
em que L é o momento angular. A solução da equação de Schrödinger para este problema leva a níveis de energia quantizados dados por
Eell=ell(ell+1) hbar^22 I
(b) Mostre que as energias das transições permitidas são E1, 2 E1, 3 E1, 4 E1 etc., em que E1=hbar^2 / I.
© O momento de inércia da molécula de hidrogênio é dado por I=mp r^2 / 2, em que mp é a massa do próton e r approx 0,074 nm é a distância entre os prótons. Determine a energia do primeiro estado excitado (ell=1) da molécula de hidrogênio, supondo que a molécula se comporta como um rotor rígido.
(d) Qual é o comprimento de onda da radiação emitida na transição do estado ell=1 para o estado ell=0 da molécula de hidrogênio?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre energia cinética de um rotor rígido usando conceitos de física quântica e momentos de inércia. Vamos resolver as partes (b), © e (d). Precisamos entender como os níveis de energia são quantizados e como calcular transições de energia, energia do primeiro estado excitado e o comprimento de onda da radiação emitida.

Passo 2

Parte (b): Mostrar que as energias das transições permitidas são $ E_{1}, 2E_{1}, 3E_{1}, 4E_{1} $, etc., onde $ E_{1} = \hbar^{2} / I $.
Primeiro, vamos lembrar que os níveis de energia quantizados são dados por:
E1, 2E1, 3E1, 4E1
onde $ \ell $ é o número quântico, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida e $ I $ é o momento de inércia.
Para transições entre níveis de energia, a diferença de energia $ \Delta E $ entre dois estados $ \ell $ e $ \ell’ $ é:
E1 = hbar^2 / I
Queremos mostrar que essas diferenças de energia são múltiplos de $ E_{1} = \hbar^{2} / I $.
Vamos considerar transições onde $ \ell’ = \ell + 1 $:
Eell = ell(ell + 1) hbar^22I
Isso mostra que a energia da transição para cada incremento de $ \ell $ é um múltiplo de $ E_{1} $. Ou seja, as transições permitidas têm energias $ E_{1}, 2E_{1}, 3E_{1}, $ etc.

Passo 3

Parte ©: Determinar a energia do primeiro estado excitado ($ \ell = 1 $) da molécula de hidrogênio, supondo que a molécula se comporta como um rotor rígido.
Sabemos que:
ell = 1
Para $ \ell = 1 $:
Eell = ell(ell + 1) hbar^22I
Agora, precisamos calcular o momento de inércia $ I $ da molécula de hidrogênio:
ell = 1
onde $ m_{p} $ é a massa do próton e $ r = 0,074 , nm = 0,074 \times 10^{-9} , m $.
Vamos substituir $ I $ na expressão de $ E_{1} $:
E1 = 1(1 + 1) hbar^22I = 2 hbar^22I = hbar^2I
Substituindo os valores:
  • Massa do próton $ m_{p} \approx 1,67 \times 10^{-27} , kg $
  • $ \hbar \approx 1,055 \times 10^{-34} , J \cdot s $
  • $ r = 0,074 \times 10^{-9} , m $
Calculando:
I
I = mp r^22
mp
Convertendo para eV ( r = 0,074 , nm = 0,074 times 10^-9 , m ):
I

Passo 4

Parte (d): Determinar o comprimento de onda da radiação emitida na transição do estado $ \ell = 1 $ para o estado $ \ell = 0 $ da molécula de hidrogênio.
Primeiro, calculamos a diferença de energia entre os estados $ \ell = 1 $ e $ \ell = 0 $:
ell = 1
Sabemos que para $ \ell = 0 $:
ell = 0
Então:
ell = 1
Agora, usamos a relação entre energia e comprimento de onda da radiação emitida:
ell = 0
Onde:
  • $ h $ é a constante de Planck ( De)
  • $ c $ é a velocidade da luz ( ell = 0 )
  • $ \lambda $ é o comprimento de onda
Rearranjando para $ \lambda $:
E0 = 0(0 + 1) hbar^22I = 0
Precisamos converter $ E $ para Joules:
De
Agora, calculando $ \lambda $:
E = hclambda
Convertendo para micrômetros:
h

Resposta

(a) Parte (b): As energias das transições permitidas são múltiplos de $ E_{1} = \hbar^{2} / I $, ou seja, $ E_{1}, 2E_{1}, 3E_{1}, 4E_{1} $, etc.
(b) Parte ©: A energia do primeiro estado excitado ($ \ell = 1 $) da molécula de hidrogênio é aproximadamente $ 0,0152 , eV $.
© Parte (d): O comprimento de onda da radiação emitida na transição do estado $ \ell = 1 $ para $ \ell = 0 $ é cerca de $ 81,6 , \mum $.

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