Se um corpo rígido tem momento de inércia
e está girando com velocidade angular
, a energia cinética é dada por
em que
é o momento angular. A solução da equação de Schrödinger para este problema leva a níveis de energia quantizados dados por
(b) Mostre que as energias das transições permitidas são
etc., em que
.
© O momento de inércia da molécula de hidrogênio é dado por
, em que
é a massa do próton e
é a distância entre os prótons. Determine a energia do primeiro estado excitado
da molécula de hidrogênio, supondo que a molécula se comporta como um rotor rígido.
(d) Qual é o comprimento de onda da radiação emitida na transição do estado
para o estado
da molécula de hidrogênio?
© O momento de inércia da molécula de hidrogênio é dado por
(d) Qual é o comprimento de onda da radiação emitida na transição do estado
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre energia cinética de um rotor rígido usando conceitos de física quântica e momentos de inércia. Vamos resolver as partes (b), © e (d). Precisamos entender como os níveis de energia são quantizados e como calcular transições de energia, energia do primeiro estado excitado e o comprimento de onda da radiação emitida.
Passo 2
Parte (b): Mostrar que as energias das transições permitidas são $ E_{1}, 2E_{1}, 3E_{1}, 4E_{1} $, etc., onde $ E_{1} = \hbar^{2} / I $.
Primeiro, vamos lembrar que os níveis de energia quantizados são dados por:
onde $ \ell $ é o número quântico, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida e $ I $ é o momento de inércia.
Para transições entre níveis de energia, a diferença de energia $ \Delta E $ entre dois estados $ \ell $ e $ \ell’ $ é:
Queremos mostrar que essas diferenças de energia são múltiplos de $ E_{1} = \hbar^{2} / I $.
Vamos considerar transições onde $ \ell’ = \ell + 1 $:
Isso mostra que a energia da transição para cada incremento de $ \ell $ é um múltiplo de $ E_{1} $. Ou seja, as transições permitidas têm energias $ E_{1}, 2E_{1}, 3E_{1}, $ etc.
Passo 3
Parte ©: Determinar a energia do primeiro estado excitado ($ \ell = 1 $) da molécula de hidrogênio, supondo que a molécula se comporta como um rotor rígido.
Sabemos que:
Para $ \ell = 1 $:
Agora, precisamos calcular o momento de inércia $ I $ da molécula de hidrogênio:
onde $ m_{p} $ é a massa do próton e $ r = 0,074 , nm = 0,074 \times 10^{-9} , m $.
Vamos substituir $ I $ na expressão de $ E_{1} $:
Substituindo os valores:
- Massa do próton $ m_{p} \approx 1,67 \times 10^{-27} , kg $
- $ \hbar \approx 1,055 \times 10^{-34} , J \cdot s $
- $ r = 0,074 \times 10^{-9} , m $
Calculando:
Convertendo para eV (
):
Passo 4
Parte (d): Determinar o comprimento de onda da radiação emitida na transição do estado $ \ell = 1 $ para o estado $ \ell = 0 $ da molécula de hidrogênio.
Primeiro, calculamos a diferença de energia entre os estados $ \ell = 1 $ e $ \ell = 0 $:
Sabemos que para $ \ell = 0 $:
Então:
Agora, usamos a relação entre energia e comprimento de onda da radiação emitida:
Onde:
- $ h $ é a constante de Planck (
) - $ c $ é a velocidade da luz (
) - $ \lambda $ é o comprimento de onda
Rearranjando para $ \lambda $:
Precisamos converter $ E $ para Joules:
Agora, calculando $ \lambda $:
Convertendo para micrômetros:
Resposta
(a) Parte (b): As energias das transições permitidas são múltiplos de $ E_{1} = \hbar^{2} / I $, ou seja, $ E_{1}, 2E_{1}, 3E_{1}, 4E_{1} $, etc.
(b) Parte ©: A energia do primeiro estado excitado ($ \ell = 1 $) da molécula de hidrogênio é aproximadamente $ 0,0152 , eV $.
© Parte (d): O comprimento de onda da radiação emitida na transição do estado $ \ell = 1 $ para $ \ell = 0 $ é cerca de $ 81,6 , \mum $.