Determine o menor ângulo entre o momento angular L e o eixo z em função do número quântico ell e mostre que para grandes valores de ell, theta min approx 1 / raizell.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o menor ângulo entre o momento angular L e o eixo z em função do número quântico ell. Além disso, temos que mostrar que, para valores grandes de ell, esse ângulo mínimo thetamin é aproximadamente igual a 1/raizell. Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre momento angular e números quânticos. Precisaremos entender como o momento angular se relaciona com os números quânticos e como calcular ângulos a partir dessas relações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em mecânica quântica, o momento angular total L está relacionado ao número quântico orbital ell pela fórmula:
|L| = raizell(ell + 1) hbar
Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida. Além disso, a projeção do momento angular no eixo z é dada por:
Lz = mhbar
onde m é o número quântico magnético e pode variar entre -ell e ell.

Passo 3

O menor ângulo entre L e o eixo z ocorre quando a projeção Lz é máxima, ou seja, quando m = ell. Então, temos:
Lz = ell hbar
Agora, para encontrar o ângulo theta entre L e o eixo z, usamos a relação entre os componentes do vetor:
cos theta = Lz|L|
Substituindo os valores que temos:
cos theta = ell hbarraizell(ell + 1) hbar = ellraizell(ell + 1)

Passo 4

Vamos simplificar a expressão para cos theta:
cos theta = ellraizell^2 + ell = 1raiz1 + 1ell
Agora, para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno:
theta = arccos(1raiz1 + 1ell)

Passo 5

Para valores grandes de ell, ou seja, quando ell tende ao infinito, podemos fazer uma aproximação. Usando a expansão de Taylor para 1raiz1 + x approx 1 - x2 quando x é pequeno, onde x = 1ell:
1raiz1 + 1ell approx 1 - 12ell
Então,
cos theta approx 1 - 12ell

Passo 6

Para encontrar theta, usamos a aproximação para pequenos ângulos, onde cos theta approx 1 - theta^22. Igualando:
1 - theta^22 approx 1 - 12ell
Simplificando:
theta^22 approx 12ell
Multiplicando ambos os lados por 2:
theta^2 approx 1ell
Então,
theta approx 1raizell

Resposta

O menor ângulo entre o momento angular L e o eixo z é aproximadamente thetamin approx 1raizell para grandes valores de ell.

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