Determine o menor ângulo entre o momento angular e o eixo em função do número quântico e mostre que para grandes valores de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o menor ângulo entre o momento angular e o eixo em função do número quântico . Além disso, temos que mostrar que, para valores grandes de , esse ângulo mínimo é aproximadamente igual a . Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre momento angular e números quânticos. Precisaremos entender como o momento angular se relaciona com os números quânticos e como calcular ângulos a partir dessas relações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em mecânica quântica, o momento angular total está relacionado ao número quântico orbital pela fórmula:
Aqui, é a constante de Planck reduzida. Além disso, a projeção do momento angular no eixo é dada por:
onde é o número quântico magnético e pode variar entre e .
Passo 3
O menor ângulo entre e o eixo ocorre quando a projeção é máxima, ou seja, quando . Então, temos:
Agora, para encontrar o ângulo entre e o eixo , usamos a relação entre os componentes do vetor:
Substituindo os valores que temos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão para :
Agora, para encontrar o ângulo , tiramos o arco cosseno:
Passo 5
Para valores grandes de ell, ou seja, quando ell tende ao infinito, podemos fazer uma aproximação. Usando a expansão de Taylor para 1raiz1 + x approx 1 - x2 quando x é pequeno, onde x = 1ell:
1raiz1 + 1ell approx 1 - 12ell
Então,
cos theta approx 1 - 12ell
Passo 6
Para encontrar theta, usamos a aproximação para pequenos ângulos, onde cos theta approx 1 - theta^22. Igualando:
1 - theta^22 approx 1 - 12ell
Simplificando:
theta^22 approx 12ell
Multiplicando ambos os lados por 2:
theta^2 approx 1ell
Então,
theta approx 1raizell
Resposta
O menor ângulo entre o momento angular L e o eixo z é aproximadamente thetamin approx 1raizell para grandes valores de ell.