O raio do próton, R0, é aproximadamente igual a 10^-15 m. A probabilidade de que um elétron seja encontrado no interior do volume ocupado pelo próton é dada por
P=integral0^R0 P(r) d r
em que P(r) é a densidade de probabilidade radial. Calcule o valor de P para o estado fundamental do átomo de hidrogênio. (Sugestão: Use a aproximação e^-2 r / a0 approx 1 já que r ll a0 em todo o intervalo de integração.)

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre a probabilidade de encontrar um elétron dentro do raio de um próton no átomo de hidrogênio. A gente vai usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre a densidade de probabilidade radial. Para resolver, vamos precisar entender a função de onda do elétron no estado fundamental e fazer uma integração usando uma aproximação que simplifica a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de encontrar o elétron em uma certa região é dada pela densidade de probabilidade radial, $ P® $, integrada sobre o volume dessa região. No estado fundamental do átomo de hidrogênio, a função de onda do elétron é conhecida e podemos expressar $ P® $ em termos dessa função.

Passo 3

A função de onda do elétron no estado fundamental é:
psi(r) = 1raizpi a0^3 e^-r/a0
onde $ a_0 $ é o raio de Bohr, aproximadamente $ 5,29 \times 10^{-11} $ metros.

Passo 4

A densidade de probabilidade radial é dada por:
P(r) = 4pi r^2 |psi(r)|^2
Substituindo a função de onda, temos:
P(r) = 4pi r^2 ( 1raizpi a0^3 e^-r/a0 )^2 = 4a0^3 r^2 e^-2r/a0

Passo 5

Queremos calcular a probabilidade $ P $ de encontrar o elétron dentro do raio do próton $ R_0 = 10^{-15} $ metros:
P

Passo 6

A dica da questão sugere que $ r \ll a_0 $, ou seja, $ r $ é muito menor que $ a_0 $. Nessa situação, podemos aproximar $ e^{-2r/a_0} \approx 1 $. Assim, a integral simplifica para:
r ll a0

Passo 7

Vamos calcular a integral:
integral0^R0 r^2 dr = [ r^33 ]0^R0 = R0^33
Portanto,
P approx 4a0^3 cdot R0^33 = 4 R0^33 a0^3

Passo 8

Agora, vamos substituir os valores numéricos:
R0 = 10^-15 m e a0 = 5,29 times 10^-11 m
Substituindo na fórmula:
P approx 4 (10^-15)^33 (5,29 times 10^-11)^3

Passo 9

Calculando os valores:
P approx 4 times 10^-453 times (1,48 times 10^-31) = 4 times 10^-454,44 times 10^-31 approx 9,0 times 10^-15

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron no interior do próton no estado fundamental do átomo de hidrogênio é aproximadamente $ P \approx 9,0 \times 10^{-15} $.

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