O raio do próton,
, é aproximadamente igual a
. A probabilidade de que um elétron seja encontrado no interior do volume ocupado pelo próton é dada por
em que
é a densidade de probabilidade radial. Calcule o valor de
para o estado fundamental do átomo de hidrogênio. (Sugestão: Use a aproximação
já que
em todo o intervalo de integração.)
Passo 1
Então, vamos lá! A questão fala sobre a probabilidade de encontrar um elétron dentro do raio de um próton no átomo de hidrogênio. A gente vai usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre a densidade de probabilidade radial. Para resolver, vamos precisar entender a função de onda do elétron no estado fundamental e fazer uma integração usando uma aproximação que simplifica a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de encontrar o elétron em uma certa região é dada pela densidade de probabilidade radial, $ P® $, integrada sobre o volume dessa região. No estado fundamental do átomo de hidrogênio, a função de onda do elétron é conhecida e podemos expressar $ P® $ em termos dessa função.
Passo 3
A função de onda do elétron no estado fundamental é:
onde $ a_0 $ é o raio de Bohr, aproximadamente $ 5,29 \times 10^{-11} $ metros.
Passo 4
A densidade de probabilidade radial é dada por:
Substituindo a função de onda, temos:
Passo 5
Queremos calcular a probabilidade $ P $ de encontrar o elétron dentro do raio do próton $ R_0 = 10^{-15} $ metros:
Passo 6
A dica da questão sugere que $ r \ll a_0 $, ou seja, $ r $ é muito menor que $ a_0 $. Nessa situação, podemos aproximar $ e^{-2r/a_0} \approx 1 $. Assim, a integral simplifica para:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Portanto,
Passo 8
Agora, vamos substituir os valores numéricos:
Substituindo na fórmula:
Passo 9
Calculando os valores:
Resposta
A probabilidade de encontrar o elétron no interior do próton no estado fundamental do átomo de hidrogênio é aproximadamente $ P \approx 9,0 \times 10^{-15} $.