O valor da constante C200 na Equação 7-33 é
C200=1raiz32 pi(Za0)^3 / 2
Determine os valores
(a) de psi;
(b) de psi^2;
© da densidade de probabilidade radial P(r) no ponto r=a0 para o estado n=2, ell=0, m=0 do átomo de hidrogênio. A resposta deve ser dada em unidades de a0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma expressão para a constante $ C_{200} $ na Equação 7-33, que é importante para encontrar a função de onda $ \psi $ do átomo de hidrogênio no estado $ n=2 $, $ \ell=0 $, $ m=0 $. Vamos precisar entender um pouco de mecânica quântica, especialmente sobre funções de onda e densidade de probabilidade. Vamos por partes para achar:
(a) A função de onda $ \psi $
(b) O quadrado da função de onda $ \psi^2 $
© A densidade de probabilidade radial $ P® $ no ponto $ r = a_0 $

Passo 2

Primeiro, vamos achar a função de onda $ \psi $. A função de onda para o átomo de hidrogênio no estado $ n=2 $, $ \ell=0 $, $ m=0 $ é dada por:
psi
Onde $ L_{1}^{1/2} $ é um polinômio associado de Laguerre. Mas para simplificar, já que $ \ell=0 $, a função pode ser simplificada para:
n=2

Passo 3

Agora, vamos usar o valor de $ C_{200} $ fornecido:
C200
Substituindo na expressão de $ \psi_{200}® $:
C200 = 1raiz32 pi ( Za0 )^3/2

Passo 4

Então, a função de onda $ \psi $ está encontrada. Essa função descreve a probabilidade de encontrar o elétron em uma certa posição ao redor do núcleo do átomo de hidrogênio.

Passo 5

Agora, vamos calcular $ \psi^2 $. Isso significa simplesmente elevar a função de onda ao quadrado:
psi^2
Simplificando:
psi^2200(r) = ( 1raiz32 pi ( Za0 )^3/2 (1 - Zr2a0) e^-Zr/(2a0) )^2

Passo 6

Por fim, vamos encontrar a densidade de probabilidade radial $ P® $ no ponto $ r = a_0 $. A densidade de probabilidade radial é dada por:
P(r)
Substituindo $ r = a_0 $:
r = a0
Simplificando os termos:
P(r) = 4pi r^2 psi^2(r)
r = a0
Como a unidade é $ a_0 $, mantemos a expressão em termos de $ a_0 $.

Resposta

(a) A função de onda é
psi200(r) = 1raiz32 pi ( Za0 )^3/2 (1 - Zr2a0) e^-Zr/(2a0)
(b) O quadrado da função de onda é
psi^2200(r) = 132 pi ( Za0 )^3 (1 - Zr2a0)^2 e^-Zr/a0
© A densidade de probabilidade radial no ponto $ r = a_0 $ é
r = a0

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