O valor da constante
na Equação 7-33 é
Determine os valores
(a) de
;
(b) de
;
© da densidade de probabilidade radial
no ponto
para o estado
do átomo de hidrogênio. A resposta deve ser dada em unidades de
.
(a) de
(b) de
© da densidade de probabilidade radial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma expressão para a constante $ C_{200} $ na Equação 7-33, que é importante para encontrar a função de onda $ \psi $ do átomo de hidrogênio no estado $ n=2 $, $ \ell=0 $, $ m=0 $. Vamos precisar entender um pouco de mecânica quântica, especialmente sobre funções de onda e densidade de probabilidade. Vamos por partes para achar:
(a) A função de onda $ \psi $
(b) O quadrado da função de onda $ \psi^2 $
© A densidade de probabilidade radial $ P® $ no ponto $ r = a_0 $
Passo 2
Primeiro, vamos achar a função de onda $ \psi $. A função de onda para o átomo de hidrogênio no estado $ n=2 $, $ \ell=0 $, $ m=0 $ é dada por:
Onde $ L_{1}^{1/2} $ é um polinômio associado de Laguerre. Mas para simplificar, já que $ \ell=0 $, a função pode ser simplificada para:
Passo 3
Agora, vamos usar o valor de $ C_{200} $ fornecido:
Substituindo na expressão de $ \psi_{200}® $:
Passo 4
Então, a função de onda $ \psi $ está encontrada. Essa função descreve a probabilidade de encontrar o elétron em uma certa posição ao redor do núcleo do átomo de hidrogênio.
Passo 5
Agora, vamos calcular $ \psi^2 $. Isso significa simplesmente elevar a função de onda ao quadrado:
Simplificando:
Passo 6
Por fim, vamos encontrar a densidade de probabilidade radial $ P® $ no ponto $ r = a_0 $. A densidade de probabilidade radial é dada por:
Substituindo $ r = a_0 $:
Simplificando os termos:
Como a unidade é $ a_0 $, mantemos a expressão em termos de $ a_0 $.
Resposta
(a) A função de onda é
(b) O quadrado da função de onda é
© A densidade de probabilidade radial no ponto $ r = a_0 $ é