(2 { }^{\text {a }} Questão - 2,0 pontos)
Determine uma função potencial
\varphi(x, y) tal que \vec{F}=\vec{\nabla} \varphi e a use para calcular \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde \overrightarrow{\mathbf{F}}(x, y)=(\cos y+y \cdot \cos x) \overrightarrow{\mathbf{i}}+(\operatorname{sen} x-x \cdot \operatorname{sen} y) \overrightarrow{\mathbf{j}}, C é o segmento de reta começa em (1,0) e termina em (\pi, 0).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\vec{F}(x,y)=\nabla\varphi(x,y)
para o campo
\vec{F}(x,y)=(\cos y + y\cos x)\,\mathbf{i}+(\sin x - x\sin y)\,\mathbf{j}
e, em seguida, usar essa potencial para calcular \displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}, onde C é o segmento de reta de (1,0) até (\pi,0).
O conteúdo usado será: teste de campos conservativos (igualdade de derivadas parciais), construção da potencial integrando componentes e aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos.

Passo 2

Verificamos se \vec{F} é conservativo, comparando \partial F_{1}/\partial y e \partial F_{2}/\partial x.
F_{1}(x,y)=\cos y + y\cos x \quad\implies\quad \frac{\partial F_{1}}{\partial y} =-\sin y + \cos x,
F_{2}(x,y)=\sin x - x\sin y \quad\implies\quad \frac{\partial F_{2}}{\partial x} =\cos x - \sin y.
Como -\sin y+\cos x=\cos x-\sin y, o campo é conservativo.

Passo 3

Para achar \varphi(x,y), integramos F_{1} em relação a x:
\varphi(x,y) =\int(\cos y + y\cos x)\,dx =x\cos y + y\sin x + g(y),
onde g(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Diferenciamos \varphi em relação a y e igualamos a F_{2}:
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =-x\sin y + \sin x + g'(y) \stackrel{!}{=}\sin x - x\sin y.
Daí vem g'(y)=0, logo g(y) é constante. Podemos tomar essa constante igual a zero, ficando
\varphi(x,y)=x\cos y + y\sin x.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental dos Campos Conservativos,
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\varphi\bigl(\pi,0\bigr)-\varphi\bigl(1,0\bigr).
Calculamos
\varphi(\pi,0)=\pi\cos0 + 0\cdot\sin\pi=\pi, \quad \varphi(1,0)=1\cdot\cos0 + 0\cdot\sin1=1.
Portanto,
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\pi - 1.

Resposta

\displaystyle \pi - 1

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