(2
Questão - 2,0 pontos)
Determine uma função potencial
tal que
e a use para calcular
, onde
, C é o segmento de reta começa em
e termina em
.
Determine uma função potencial
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma função potencial
tal que
para o campo
e, em seguida, usar essa potencial para calcular
, onde
é o segmento de reta de
até
.
O conteúdo usado será: teste de campos conservativos (igualdade de derivadas parciais), construção da potencial integrando componentes e aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos.
O conteúdo usado será: teste de campos conservativos (igualdade de derivadas parciais), construção da potencial integrando componentes e aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos.
Passo 2
Verificamos se
é conservativo, comparando
e
.
Como
, o campo é conservativo.
Passo 3
Para achar
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Daí vem
, logo
é constante. Podemos tomar essa constante igual a zero, ficando
Passo 5
Pelo Teorema Fundamental dos Campos Conservativos,
Calculamos
Portanto,