Questão 2 (2 pontos) - A uma determinada distância, um atleta de arco e flecha tem probabilidade de 40% de acertar no alvo (“sucesso”). Admitindo que os tiros com o arco são independentes entre si, calcular:
a) O número esperado de tentativas até ele acertar no alvo.
b) A probabilidade de que o primeiro tiro bem-sucedido ocorra na quinta tentativa.
c) Sabendo que ele acertou o alvo na quinta tentativa, qual é a probabilidade de ele acertar o alvo no sexto tiro?

Passo 1

O enunciado diz que cada tiro é independente e que a probabilidade de sucesso (acertar o alvo) em cada tentativa é p=0,4. Denotamos por X o número de tentativas até o primeiro sucesso. Sabemos que X segue uma distribuição geométrica de parâmetro p. Para resolver as questões, vamos usar (i) a fórmula da esperança dessa distribuição, (ii) sua função massa de probabilidade e (iii) a propriedade de independência dos tiros.

Passo 2

A esperança da distribuição geométrica com parâmetro p é dada por
E[X] = \frac{1}{p}.
Substituindo p=0,4, obtemos
E[X] = \frac{1}{0,4} = 2{,}5.

Passo 3

A função massa de probabilidade da geométrica é
P(X = k) = (1 - p)^{\,k-1}\,p.
Para k=5 e p=0,4, vem
P(X = 5) = (1-0,4)^{4}\cdot 0,4 = 0,6^{4}\cdot 0,4 = 0{,}05184.

Passo 4

Queremos P(\text{acerto no 6º tiro}\mid \text{acerto no 5º tiro})ºº. Como os tiros são independentes, o resultado do sexto não depende do quinto. Logo,
P(\text{acerto no 6º tiro}\mid \text{acerto no 5º tiro}) = P(\text{acerto no 6º tiro}) = p = 0,4.ººº

Resposta

(a) 2{,}5
(b) 0{,}05184
(c) 0,4

Exercícios relacionados